数模习题1
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题目描述
一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的质量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的质量的方法。假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据(胸围指鱼身的最大周长):
| 身长/cm | 质量/g | 胸围/cm |
|---|---|---|
| 36.8 | 765 | 24.8 |
| 31.8 | 482 | 21.3 |
| 43.8 | 1162 | 27.9 |
| 36.8 | 737 | 24.8 |
| 32.1 | 482 | 21.6 |
| 45.1 | 1389 | 31.8 |
| 35.9 | 652 | 22.9 |
| 32.1 | 22.9 | 21.6 |
先用机理分析建立模型，再用数据确定参数。
思路分析
根据鱼的形状，大致可将鱼抽象为两个底面为椭圆的锥体的组合，其中两个锥体的顶点分别位于鱼的头部和尾部。
则鱼的身长为两顶点的距离，也即二倍锥体的高；鱼的胸围为锥体的底面椭圆的周长。当鱼的种类唯一时，可大致确定底面椭圆的形状，即椭圆长轴与短轴之比可以估计；同时鱼的密度也可大致确定。
题解
将鱼的身长记为 \(l\)，胸围记为\(D\)，底面椭圆长轴与短轴之比为\(k\)，密度为\(\rho\)。
根据椭圆周长近似公式
\[D = 2\pi b + 4(a-b)
\]
以及椭圆面积公式
\[S = \pi a b
\]
和锥体体积公式
\[V = \frac{1}{3}Sl
\]
可得到如下公式
\[V = \frac{k\pi lD^2}{3(2\pi+4k-4)^2}
\]
再根据密度公式
\[m = \rho V
\]
得到鱼的质量\(m\)为
\[m = \frac{k\pi lD^2\rho}{3(2\pi+4k-4)^2}
\]
改写为
\[m = KlD^2
\]
其中\(K\)为比例系数，根据数据估计模型中的系数可得\(K = 0.033\)，将实际数据与模型比较如表.
| 实际重量 | 765 | 482 | 1162 | 737 | 482 | 1389 | 652 | 454 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 模型 | 747 | 476 | 1125 | 747 | 494 | 1505 | 621 | 494 |
基本上满意.
