CF1979E Manhattan Triangle

题目描述

给定$n$个点，找出三个点使得这三个点两两之间的曼哈顿距离为偶数$d$

$$n\le 300000$$

题解

与一个点的曼哈顿距离为$d$的点是一个斜$45°$的正方形
设这个点坐标为$(x,y)$
考虑另外两个点可能在哪些位置，
如果另外两个点在正方形的同一条边上，那么这两个点的横纵坐标的差的绝对值一定都等于$d/2$，即满足$|x_1-x_2|=d/2,|y_1-y_2|=d/2$
如果不在同一条边上，那么一定有一个点与$(x,y)$满足$|x_1-x|=d/2,|y_1-y|=d/2$
也就是说如果可以找到三个点满足两两之间的曼哈顿距离为偶数$d$，那么这三个点中一定存在两个点满足$|x_1-x_2|=d/2,|y_1-y_2|=d/2$
那么做法就很简单了，枚举其中一个点，判断是否存在另一个点满足$|x_1-x_2|=d/2,|y_1-y_2|=d/2$，这个可以用$map$判断，然后就是找到一个在这两个点的正方形的交集上的点，交集其实就是两条线段，可以预处理排序后用二分判断，具体可以看代码
时间复杂度$O(n\log n)$

$\text{code}$

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<map>
#include<vector>
using namespace std;
const int N=1e6+1000,M=4e5,inf=1e9+10;
int n,d,a[N+10],b[N+10];
struct node
{
	int x,y;
}p[N+10];
map<pair<int,int>,int> t;
vector<int> t1[N+10],t2[N+10];
bool cmp(int a,int b){return p[a].x<p[b].x;}
int check(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	int c=0;
	if(y1-x1==y2-x2)
	{
		c=y1-x1+M;
		if(t1[c].size()==0) return false;
		int l=0,r=t1[c].size()-1,ans=-1;
		for(int mid;l<=r;)
		{
			mid=l+r>>1;
			if(p[t1[c][mid]].x<=x2) ans=mid,l=mid+1;
			else r=mid-1;
		}
		if(ans==-1) return 0;
		if(p[t1[c][ans]].x>=x1) return t1[c][ans];
		else return 0;
	}
	else
	{
		c=x1+y1+M;
		if(t2[c].size()==0) return false;
		int l=0,r=t2[c].size()-1,ans=-1;
		for(int mid;l<=r;)
		{
			mid=l+r>>1;
			if(p[t2[c][mid]].x<=x2) ans=mid,l=mid+1;
			else r=mid-1;
		}
		if(ans==-1) return 0;
		if(p[t2[c][ans]].x>=x1) return t2[c][ans];
		else return 0;
	}
	return 0;
}
void solve()
{
	for(int i=1,tmp;i<=n;i++)
	{
		int x=p[i].x,y=p[i].y,k=d>>1;
		if(t.find({x-k,y-k})!=t.end())
		{
			tmp=check(x-d,y,x-k,y+k);
			if(tmp)
			{
//				puts("fuc");
//				printf("%d %d %d\n",x,y,k);
//				printf("%d %d\n",p[t[{x-k,y-k}]].x,p[t[{x-k,y-k}]].y);
				printf("%d %d %d",i,t[{x-k,y-k}],tmp);
				return;
			}
			tmp=check(x,y-d,x+k,y-k);
			if(tmp)
			{
				printf("%d %d %d",i,t[{x-k,y-k}],tmp);
				return;
			}
		}
		if(t.find({x-k,y+k})!=t.end())
		{
			tmp=check(x-d,y,x-k,y-k);
			if(tmp)
			{
				printf("%d %d %d",i,t[{x-k,y+k}],tmp);
				return;
			}
			tmp=check(x,y+d,x+k,y+k);
			if(tmp)
			{
				printf("%d %d %d",i,t[{x-k,y+k}],tmp);
				return;
			}
		}
	}
	printf("0 0 0");
}
int main()
{
//	freopen("e.in","r",stdin);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	for(;T--;)
	{
		scanf("%d %d",&n,&d);
		for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d %d",&p[i].x,&p[i].y),t[{p[i].x,p[i].y}]=i;
		for(int i=1;i<=n;i++)
		{
			t1[p[i].y-p[i].x+M].push_back(i),a[i]=p[i].y-p[i].x+M;
			t2[p[i].y+p[i].x+M].push_back(i),b[i]=p[i].y+p[i].x+M;
		}
		sort(a+1,a+1+n),sort(b+1,b+1+n);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(a[i]!=a[i-1])
				sort(t1[a[i]].begin(),t1[a[i]].end(),cmp);
		for(int i=1;i<=n;i++)
			if(b[i]!=b[i-1])
				sort(t2[b[i]].begin(),t2[b[i]].end(),cmp);
		solve(),puts("");
		for(int i=1;i<=n;i++) t1[a[i]].clear();
		for(int i=1;i<=n;i++) t2[b[i]].clear();
		t.clear();
	}
	return 0;
}