CF1707E Replace

题目描述

给定一个长为 \(n\) 的序列 \(a_1,\ldots,a_n\)，其中对于任意的 \(i\) 满足 \(1 \leq a_i \leq n\)。

定义一个二元组函数如下：

\[f((l,r))=(\min\{a_l,\ldots,a_r\},\max\{a_l,\ldots,a_r\})(l \leq r) \]

你需要回答 \(q\) 次询问，每次给定 \((l_i,r_i)\)，问其最少经过多少次 \(f\) 的调用（即 \((l,r) \rightarrow f((l,r))\)）使得 \((l_i,r_i)\) 变成 \((1,n)\)，若无解请输出 -1。

题解

智慧的性质题
首先注意到\(f((l,r))=\bigcup_{i=l}^{r-1}f((i,i+1))\)
发现可以推广到\(f^k((l,r))=\bigcup_{i=l}^{r-1}f^k((i,i+1))\)，可以用归纳法证明
接下来的做法就容易可以想出了
设\(F_{i,j}=f^{2^i}((j,j+1))\)，然后倍增解决，合并区间可以用线段树

\(\text{code}\)

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
void read(int &res)
{
	res=0;char ch=getchar();
	while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
	while('0'<=ch&&ch<='9') res=(res<<1)+(res<<3)+(ch^48),ch=getchar();
}
const int N=1e5+100,B=40;
int n,q,a[N+10];
struct seg
{
	int l,r;
}f[B+10][N+10];
int g[B+10][N+10];
seg merge(seg a,seg b){return (seg){min(a.l,b.l),max(a.r,b.r)};}
struct SEG
{
	seg t[N<<2|1];
	#define ls (p<<1)
	#define rs (p<<1|1)
	#define mid ((l+r)>>1)
	void build(seg *f,int p=1,int l=1,int r=n-1)
	{
		if(l==r)
		{
			t[p]=f[l];
			return;
		}
		build(f,ls,l,mid),build(f,rs,mid+1,r);
		t[p]=merge(t[ls],t[rs]);
	}
	seg query(int L,int R,int p=1,int l=1,int r=n-1)
	{
		if(L<=l&&r<=R) return t[p];
		if(R<=mid) return query(L,R,ls,l,mid);
		else if(L>mid) return query(L,R,rs,mid+1,r);
		else return merge(query(L,R,ls,l,mid),query(L,R,rs,mid+1,r));
	}
	#undef ls
	#undef rs
	#undef mid
}t[B+10];
int main()
{
//	freopen("a.in","r",stdin);
	read(n),read(q);
	if(n==1)
	{
		for(;q--;) printf("0\n");
		return 0;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++) read(a[i]);
	for(int i=1;i<n;i++) f[0][i]=(seg){min(a[i],a[i+1]),max(a[i],a[i+1])},g[0][i]=a[i];
	t[0].build(f[0]);
	for(int j=1;j<=B;j++)
	{
		for(int i=1;i<n;i++)
		{
			if(f[j-1][i].l==f[j-1][i].r) f[j][i]=(seg){g[j-1][f[j-1][i].l],g[j-1][f[j-1][i].l]};
			else f[j][i]=t[j-1].query(f[j-1][i].l,f[j-1][i].r-1);
		}
		t[j].build(f[j]);
		for(int i=1;i<=n;i++) g[j][i]=g[j-1][g[j-1][i]];
	}
	for(int l,r;q--;)
	{
		read(l),read(r);
		if(l==1&&r==n)
		{
			printf("0\n");
			continue;
		}
		ll ans=0;
		if(l!=r)
			for(int i=B;i>=0;i--)
			{
				seg tmp=t[i].query(l,r-1);
				if(tmp.l!=1||tmp.r!=n)
				{
					l=tmp.l,r=tmp.r;
					ans+=(1ll<<i);
				}
				if(l==r) break;
			}
		if(l==r) printf("-1\n");
		else
		{
			seg tmp=t[0].query(l,r-1);
			if(tmp.l==1&&tmp.r==n) printf("%lld\n",ans+1);
			else printf("-1\n");
		}
	}
	return 0;
}