中国剩余定理
给定一堆方程,代表
\[\begin{cases}
x\equiv a_i \pmod{m_i}
\end{cases}
\]
其中,m两两互质
那么
\[x=\sum_{i=1}^n a_it_iM_i
\]
其中
\[M=\prod_{i=1}^n m_i
\]
\[M_i=\frac{M}{m_i}
\]
\[t_i是M_i在mod \space m_i下的逆元
\]
证明
很显然
\[M_i\equiv 0 \pmod{m_j} (j\ne i)
\]
所以我们只要证明
\[a_it_iM_i \equiv a_i \pmod{m_i}
\]
\[\because t_i是M_i在mod \space m_i下的逆元
\]
\[即t_iM_i\equiv 1 \pmod{m_i}
\]
\[\therefore a_it_iM_i\equiv a_i \pmod{m_i}
\]
\[\therefore x=\sum_{i=1}^n a_it_iM_i
\]
\[这只是一个特解
\]
\[但是我们很显然知道他有一个解系
\]
\[\because M\equiv 0\pmod{m_i}
\]
\[\therefore 我们不管加多少M都满足方程
\]
\[\therefore 解系为{x+My,y\in Z}
\]
