[NOI2013]快餐店

[NOI2013]快餐店]

传送门

题意分析

• n个建筑由n条道路相连，可以得出给出的图实际上就是一棵基环树。

• 快餐点要设在距最远顾客最近的位置 并且可以设置在道路上，实际上就是找树上最长链中点，也就是树的直径，类似于求树的直径。

解题思路

​ 首先考虑如何将此问题转化为求树的直径问题，也就是如何将基环树当一棵无环树处理。最简单的想法就是将基环树上的m条边每次拆掉一边，找一次树的直径，求所得直径的最小值。这样做的时间复杂度是O(n²m）的，只能过大概60%的数据。

​ 这个算法的时间复杂度主要在于每拆完边后重新求一次最长链的过程，所以我们考虑如何优化这个过程。能不能在每次求最长链的过程中，保存下来什么，使得之后能用上保存下来的数据；又或者能不能预处理出一点东西。

​ 总之，就是要加快求最长链这个过程，那我们不妨直接从最长链上入手。考虑最长链与环上的点的关系，因为这道题唯一与求树上直径不同的便是基环树上的那个环。

第一种情况：最长链不经过环上的边。

​ 那其实就是求环上所挂的子树的最大直径。

第二种情况：最长链经过环上的边。

​ 那这条最长链就可以化成三部分处理，分别是：环上所挂子树的深度，经过环上的距离，另一棵环上所挂子树的深度。环上所挂子树的深度可以直接存储到数组中。那剩下要考虑的就是经过环上的距离。而从环上的一点到另一点总共有两种方式，一种是顺时针，一种是逆时针。那其实就可以用一种类似于前缀和的操作来快速求得，即从环上的第一个点开始，顺时针求一遍，再逆时针求一遍。然后，最长链长度就等于枚举环上两点求经过这两点的最长链的最大值。

​ 最后再将两种情况的答案再取一次最大值即可。