treap(树堆)
一棵treap是一棵修改了结点顺序的二叉查找树,如图,显示一个例子,通常树内的每个结点x都有一个关键字值key[x],另外,还要为结点分配priority[x],它是一个独立选取的随机数。
假设所有的优先级是不同的,所有的关键字也是不同的。treap的结点排列成让关键字遵循二叉查找树性质,并且优先级遵循最小堆顺序性质:
1.如果v是u的左孩子,则key[v] < key[u].
2.如果v是u的右孩子,则key[v] > key[u].
3.如果v是u的孩子,则priority[u] > priority[u].
这两个性质的结合就是为什么这种树被称为“treap”的原因,因为它同时具有二叉查找树和堆的特征。
用以下方式考虑treap会有帮助。假设插入关联关键字的结点x1,x2,...,xn到一棵treap内。结果的treap是将这些结点以它们的优先级(随机选取)的顺序插入一棵正常的二叉查找树形成的,亦即priority[xi] < priority[xj]表示xi在xj之前被插入。
在算法导论的12.4节中,其证明了随机构造的二叉查找树的期望高度为O(lgn),因而treap的期望高度亦是O(lgn)。
treap插入操作:
1.按照二叉树的插入方法,将结点插入到树中
2.根据堆的性质(我们这里为最小堆)和优先级的大小调整结点位置。
treap删除操作:
1.找到相应的结点
2.若该结点为叶子结点,则直接删除;
若该结点为只包含一个叶子结点的结点,则将其叶子结点赋值给它;
若该结点为其他情况下的节点,则进行相应的旋转,直到该结点为上述情况之一,然后进行删除。
旋转主要涉及到右旋转的左旋转,下面把右旋转的图画在下面:
代码如下:(已通过GCC和VC编译)
PS:请教一下大家,在C语言中是没有引用的,因而在treap_insert(Node* root, int key, int priority)函数中(第40行),由于root要跟着改变,因而必须传root地址,即&root(第131行),因而导致在写代码时,显得很不好看,如传root的left的地址为参数,必须写成&((*root)->left)(第72行)。如果用C++写,直接用引用,则代码看起来简洁很多,不知在C语言中如何操作?
#include <stdio.h> #include <stdlib.h> #include <time.h> typedef struct node_t* Node; typedef struct treap_t* Treap; struct node_t { Node left;//左节点 Node right;//右节点 int priority;//优先级 int key;//存储的关键字 }; struct treap_t { Node root; }; //左旋转 void rotate_left(Node* node) { Node x = (*node)->right; (*node)->right = x->left; x->left = *node; *node = x; } //右旋转 void rotate_right(Node* node) { Node x = (*node)->left; (*node)->left = x->right; x->right = *node; *node = x; } //插入操作 void treap_insert(Node* root, int key, int priority) { //根为NULL,则直接创建此结点为根结点 if (*root == NULL) { *root = (Node)malloc(sizeof(struct node_t)); (*root)->left = NULL; (*root)->right = NULL; (*root)->priority = priority; (*root)->key = key; } //向右插入结点 else if (key < (*root)->key) { treap_insert(&((*root)->left), key, priority); if ((*root)->left->priority < (*root)->priority) rotate_right(root); } //向左插入结点 else { treap_insert(&((*root)->right), key, priority); if ((*root)->right->priority < (*root)->priority) rotate_left(root); } } void treap_delete(Node* root, int key) { if (*root != NULL) { if (key < (*root)->key) treap_delete(&((*root)->left), key); else if (key > (*root)->key) treap_delete(&((*root)->right), key); else { //左右孩子都为空不用单独写出来 if ((*root)->left == NULL) *root = (*root)->right; else if ((*root)->right == NULL) *root = (*root)->left; else { //先旋转,然后再删除 if ((*root)->left->priority < (*root)->right->priority) { rotate_right(root); treap_delete(&((*root)->right), key); } else { rotate_left(root); treap_delete(&((*root)->left), key); } } } } } //中序遍历 void in_order_traverse(Node root) { if (root != NULL) { in_order_traverse(root->left); printf("%d\t", root->key); in_order_traverse(root->right); } } //计算树的高度 int depth(Node node) { if(node == NULL) return -1; int l = depth(node->left); int r = depth(node->right); return (l < r)?(r+1):(l+1); } int main() { Treap treap = (Treap)malloc(sizeof(struct treap_t)); treap->root = NULL; int i = 0; srand(time(0)); for (i = 0; i < 100; i++) treap_insert(&(treap->root), i, rand()); in_order_traverse(treap->root); printf("\n高度:%d\n", depth(treap->root)); printf("---分割线---\n"); for (i = 23; i < 59; i++) treap_delete(&(treap->root), i); in_order_traverse(treap->root); printf("\n高度:%d\n", depth(treap->root)); return 0; }