程序员的数学:汉诺塔递归与非递归求解
如果对汉诺塔算法的理解有困难,建议查看《程序员的数学》:第6章 递归——自己定义自己
这一章作者详细用图形介绍了汉诺塔递归算法,便于理解,茅塞顿开!
现对该算法从递归和非递归两个方面做如下总结:
1.递归算法分析如下,
设A上有n个盘子。
如果n=1,则将圆盘从A直接移动到C。
如果n=2,则:
(1)将A上的n-1(等于1)个圆盘移到B上;
(2)再将A上的一个圆盘移到C上;
(3)最后将B上的n-1(等于1)个圆盘移到C上。
如果n=3,则:
A)将A上的n-1(等于2,令其为n`)个圆盘移到B(借助于C),步骤如下:
(1)将A上的n`-1(等于1)个圆盘移到C上。
(2)将A上的一个圆盘移到B。
(3)将C上的n`-1(等于1)个圆盘移到B。
B)将A上的一个圆盘移到C。
C)将B上的n-1(等于2,令其为n`)个圆盘移到C(借助A),步骤如下:
(1)将B上的n`-1(等于1)个圆盘移到A。
(2)将B上的一个盘子移到C。
(3)将A上的n`-1(等于1)个圆盘移到C。到此,完成了三个圆盘的移动过程。
从上面分析可以看出,当n大于等于2时, 移动的过程可分解为三个步骤:
第一步 把A上的n-1个圆盘移到B上;
第二步 把A上的一个圆盘移到C上;
第三步 把B上的n-1个圆盘移到C上;
其中第一步和第三步是类同的。 当n=3时,第一步和第三步又分解为类同的三步,即把n`-1个圆盘从一个针移到另一个针上,这里的n`=n-1。
Hanoi塔问题中函数调用时系统所做工作
一个函数在运行期调用另一个函数时,在运行被调用函数之前,系统先完成3件事:
①将所有的实参、返回地址等信息传递给被调用函数保存。
②为被调用函数的局部变量分配存储区;
③将控制转移到被调用函数的入口。
如果n=1,则将圆盘从A直接移动到C。
如果n=2,则:
(1)将A上的n-1(等于1)个圆盘移到B上;
(2)再将A上的一个圆盘移到C上;
(3)最后将B上的n-1(等于1)个圆盘移到C上。
如果n=3,则:
A)将A上的n-1(等于2,令其为n`)个圆盘移到B(借助于C),步骤如下:
(1)将A上的n`-1(等于1)个圆盘移到C上。
(2)将A上的一个圆盘移到B。
(3)将C上的n`-1(等于1)个圆盘移到B。
B)将A上的一个圆盘移到C。
C)将B上的n-1(等于2,令其为n`)个圆盘移到C(借助A),步骤如下:
(1)将B上的n`-1(等于1)个圆盘移到A。
(2)将B上的一个盘子移到C。
(3)将A上的n`-1(等于1)个圆盘移到C。到此,完成了三个圆盘的移动过程。
从上面分析可以看出,当n大于等于2时, 移动的过程可分解为三个步骤:
第一步 把A上的n-1个圆盘移到B上;
第二步 把A上的一个圆盘移到C上;
第三步 把B上的n-1个圆盘移到C上;
其中第一步和第三步是类同的。 当n=3时,第一步和第三步又分解为类同的三步,即把n`-1个圆盘从一个针移到另一个针上,这里的n`=n-1。
Hanoi塔问题中函数调用时系统所做工作
一个函数在运行期调用另一个函数时,在运行被调用函数之前,系统先完成3件事:
①将所有的实参、返回地址等信息传递给被调用函数保存。
②为被调用函数的局部变量分配存储区;
③将控制转移到被调用函数的入口。
从被调用函数返回调用函数前,系统也应完成3件事:
①保存被调用函数的结果;
②释放被调用函数的数据区;
③依照被调用函数保存的返回地址将控制转移到调用函数。
当有多个函数构成嵌套调用时,按照“后调用先返回”的原则(LIFO),上述函数之间的信息传递和控制转移必须通过“栈”来实现,即系统将整个程序运行时所需的数据空间安排在一个栈中,每当调用一个函数时,就为其在栈顶分配一个存储区,每当从一个函数退出时,就释放其存储区,因此当前运行函数的数据区必在栈顶。堆栈特点:LIFO,除非转移或中断,堆栈内容的存或取表现出线性表列的性质。正是如此,程序不要求跟踪当前进入堆栈的真实单元,而只要用一个具有自动递增或自动递减功能的堆栈计数器,便可正确指出最后一次信息在堆栈中存放的地址。
一个递归函数的运行过程类型于多个函数的嵌套调用,只是调用函数和被调用函数是同一个函数。因此,和每次调用相关的一个重要的概念是递归函数运行的“层次”。假设调用该递归函数的主函数为第0层,则从主函数调用递归函数为进入第1层;从第i层递归调用本函数为进入下一层,即i+1层。反之,退出第i层递归应返回至上一层,即i-1层。为了保证递归函数正确执行,系统需设立一个“递归工作栈”,作为整个递归函数运行期间使用的数据存储区。每一层递归所需信息构成一个“工作记录”,其中包括所有实参、所有局部变量以及上一层的返回地址。每进入一层递归,就产生一个新的工作记录压入栈顶。每退出一层递归,就从栈顶弹出一个工作记录,则当前执行层的工作记录必是递归工作栈栈顶的工作记录,称这个记录为“活动记录”,并称指示活动记录的栈顶指针为“当前环境指针”。递归源码如下:
①保存被调用函数的结果;
②释放被调用函数的数据区;
③依照被调用函数保存的返回地址将控制转移到调用函数。
当有多个函数构成嵌套调用时,按照“后调用先返回”的原则(LIFO),上述函数之间的信息传递和控制转移必须通过“栈”来实现,即系统将整个程序运行时所需的数据空间安排在一个栈中,每当调用一个函数时,就为其在栈顶分配一个存储区,每当从一个函数退出时,就释放其存储区,因此当前运行函数的数据区必在栈顶。堆栈特点:LIFO,除非转移或中断,堆栈内容的存或取表现出线性表列的性质。正是如此,程序不要求跟踪当前进入堆栈的真实单元,而只要用一个具有自动递增或自动递减功能的堆栈计数器,便可正确指出最后一次信息在堆栈中存放的地址。
一个递归函数的运行过程类型于多个函数的嵌套调用,只是调用函数和被调用函数是同一个函数。因此,和每次调用相关的一个重要的概念是递归函数运行的“层次”。假设调用该递归函数的主函数为第0层,则从主函数调用递归函数为进入第1层;从第i层递归调用本函数为进入下一层,即i+1层。反之,退出第i层递归应返回至上一层,即i-1层。为了保证递归函数正确执行,系统需设立一个“递归工作栈”,作为整个递归函数运行期间使用的数据存储区。每一层递归所需信息构成一个“工作记录”,其中包括所有实参、所有局部变量以及上一层的返回地址。每进入一层递归,就产生一个新的工作记录压入栈顶。每退出一层递归,就从栈顶弹出一个工作记录,则当前执行层的工作记录必是递归工作栈栈顶的工作记录,称这个记录为“活动记录”,并称指示活动记录的栈顶指针为“当前环境指针”。递归源码如下:
#include<stdio.h> /*主程序*/ int hanoi(int,char,char,char); int main() { char a='A',b='B',c='C'; int dishes; while(1) { printf("输入盘子个数: "); scanf("%d",&dishes); hanoi(dishes,a,b,c); } return 0; } int hanoi(int dishs,char ap,char bp,char cp) { if ( dishs == 1 ) printf("盘子从%c 移动到 %c \n",ap,cp); else { hanoi(dishs - 1,ap,cp,bp ); printf("盘子从%c 移动到 %c\n",ap,cp); hanoi(dishs - 1,bp,ap,cp); } return 0; }
2.非递归算法概述
/*《数学营养菜》(谈祥柏 著)提供的一种方法,编了一个程序来实现。
*/
/*
算法介绍:
首先容易证明,当盘子的个数为n时,移动的次数应等于2^n - 1。
一位美国学者发现一种出人意料的方法,只要轮流进行两步操作就可以了。
首先把三根柱子按顺序排成品字型,把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上。
根据圆盘的数量确定柱子的排放顺序:若n为偶数,按顺时针方向依次摆放 A B C;
若n为奇数,按顺时针方向依次摆放 A C B。
(1)按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子,即当n为偶数时,若圆盘1在柱子A,则把它移动到B;
若圆盘1在柱子B,则把它移动到C;若圆盘1在柱子C,则把它移动到A。
(2)接着,把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上。
即把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上,当两根柱子都非空时,移动较小的圆盘
这一步没有明确规定移动哪个圆盘,你可能以为会有多种可能性,其实不然,可实施的行动是唯一的。
(3)反复进行(1)(2)操作,最后就能按规定完成汉诺塔的移动。
*/
#include <iostream> using namespace std; const int MAX = 64; //圆盘的个数最多为64 struct st{ //用来表示每根柱子的信息 int s[MAX]; //柱子上的圆盘存储情况 int top; //栈顶,用来最上面的圆盘 char name; //柱子的名字,可以是A,B,C中的一个 int Top()//取栈顶元素 { return s[top]; } int Pop()//出栈 { return s[top--]; } void Push(int x)//入栈 { s[++top] = x; } } ; long Pow(int x, int y); //计算x^y void Creat(st ta[], int n); //给结构数组设置初值 void Hannuota(st ta[], long max); //移动汉诺塔的主要函数 int main(void) { int n; cin >> n; //输入圆盘的个数 st ta[3]; //三根柱子的信息用结构数组存储 Creat(ta, n); //给结构数组设置初值 long max = Pow(2, n) - 1;//动的次数应等于2^n - 1 Hannuota(ta, max);//移动汉诺塔的主要函数 system("pause"); return 0; } void Creat(st ta[], int n) { ta[0].name = 'A'; ta[0].top = n-1; for (int i=0; i<n; i++) //把所有的圆盘按从大到小的顺序放在柱子A上 ta[0].s[i] = n - i; ta[1].top = ta[2].top = 0;//柱子B,C上开始没有没有圆盘 for (int i=0; i<n; i++) ta[1].s[i] = ta[2].s[i] = 0; if (n%2 == 0) //若n为偶数,按顺时针方向依次摆放 A B C { ta[1].name = 'B'; ta[2].name = 'C'; } else //若n为奇数,按顺时针方向依次摆放 A C B { ta[1].name = 'C'; ta[2].name = 'B'; } } long Pow(int x, int y) { long sum = 1; for (int i=0; i<y; i++) sum *= x; return sum; } void Hannuota(st ta[], long max) { int k = 0; //累计移动的次数 int i = 0; int ch; while (k < max) { //按顺时针方向把圆盘1从现在的柱子移动到下一根柱子 ch = ta[i%3].Pop(); ta[(i+1)%3].Push(ch); cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[i%3].name << " to " << ta[(i+1)%3].name << endl; i++; //把另外两根柱子上可以移动的圆盘移动到新的柱子上 if (k < max) { //把非空柱子上的圆盘移动到空柱子上,当两根柱子都为空时,移动较小的圆盘 if (ta[(i+1)%3].Top() == 0 || ta[(i-1)%3].Top() > 0 && ta[(i+1)%3].Top() > ta[(i-1)%3].Top()) { ch = ta[(i-1)%3].Pop(); ta[(i+1)%3].Push(ch); cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[(i-1)%3].name << " to " << ta[(i+1)%3].name << endl; } else { ch = ta[(i+1)%3].Pop(); ta[(i-1)%3].Push(ch); cout << ++k << ": " << "Move disk " << ch << " from " << ta[(i+1)%3].name << " to " << ta[(i-1)%3].name << endl; } } } }