线性动态规划——解最长公共子序列问题
动态规划法
经常会遇到复杂问题不能简单地分解成几个子问题,而会分解出一系列的子问题。简单地采用把大问题分解成子问题,并综合子问题的解导出大问题的解的方法,问题求解耗时会按问题规模呈幂级数增加(分治思想,递归方法。往往会由于数据大导致递归层次过多而超时或爆栈,即使采用记忆化等优化策略,仍然可能解决不了问题)。
为了节约重复求相同子问题的时间,引入一个数组,不管它们是否对最终解有用,把所有子问题的解存于该数组中,找出数组中相关元素之间存在的关系(动态转移方程),这就是动态规划法所采用的基本方法。
【问题】 求两字符序列的最长公共字符子序列
问题描述:字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干个字符(可能一个也不去掉)后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0,x1,…,xm-1”,序列Y=“y0,y1,…,yk-1”是X的子序列,存在X的一个严格递增下标序列<i0,i1,…,ik-1>,使得对所有的j=0,1,…,k-1,有xij=yj。例如,X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题,设A=“a0,a1,…,am-1”,B=“b0,b1,…,bm-1”,并Z=“z0,z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质:
(1) 如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列;
(2) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列;
(3) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列。
这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1,则进一步解决一个子问题,找“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bm-2”的一个最长公共子序列;如果am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解:
引进一个二维数组c[][],用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度,b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算,那么在计算c[i,j]之前,c[i-1][j-1],c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j],就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成:
回溯输出最长公共子序列过程:
算法分析:
由于每次调用至少向上或向左(或向上向左同时)移动一步,故最多调用(m + n)次就会遇到i = 0或j = 0的情况,此时开始返回。返回时与递归调用时方向相反,步数相同,故算法时间复杂度为Θ(m + n)。
代码1:
#include <stdio.h> #include <string.h> #define MAXLEN 100 // 求序列 X 和 Y 的最长公共子序列 void LCSLength(char *x, char *y, int m, int n, int c[][MAXLEN], int b[][MAXLEN]) { int i, j; for(i = 0; i <= m; i++) //初始化 c[i][0] = 0; for(j = 1; j <= n; j++) //初始化 c[0][j] = 0; //注意,数组是由0开始,但是本题中将数组中第一个元素用i表示为1了,因此x[i-1]==y[j-1]这样比较 //实际上 b[i][j]记录的信息是字符序列中第i个和第j个的关系信息,并非x[i] , y[j] 关系 for(i = 1; i<= m; i++) { for(j = 1; j <= n; j++) { if(x[i-1] == y[j-1]) //利用动态转移方程,递推求解 { c[i][j] = c[i-1][j-1] + 1; b[i][j] = 0; //记录当前位置字符在最长公共子序列中 } else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]) { c[i][j] = c[i-1][j]; b[i][j] = 1; //记录最长公共子序列在[i-1][j]这部分 } else { c[i][j] = c[i][j-1]; b[i][j] = -1; //记录最长公共子序列 在[i][j-1]部分内 } } } } void PrintLCS(int b[][MAXLEN], char *x, int i, int j) //根据b[][]的记录,输出最长公共子序列 { if(i == 0 || j == 0) return; // printf("i=%d j=%d b[i][j]=%d\n",i,j,b[i][j]); if(b[i][j] == 0) //当前位置的字符在最长公共子序列中 { PrintLCS(b, x, i-1, j-1); //继续往后查找余下的最长公共子序列 printf("%c ", x[i-1]); //查找完前面的子序列后,再输出后面的当前公共子序列末尾字符 // printf("i=%d j=%d\n",i,j); } else if(b[i][j] == 1) PrintLCS(b, x, i-1, j); else PrintLCS(b, x, i, j-1); } int main(int argc, char **argv) { char x[MAXLEN]; char y[MAXLEN]; int b[MAXLEN][MAXLEN]; int c[MAXLEN][MAXLEN]; int m, n; scanf("%s%s",x,y); m = strlen(x); n = strlen(y); LCSLength(x, y, m, n, c, b); PrintLCS(b, x, m, n); return 0; }
代码2:
#include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<string.h> const int SIZEN=5001; int s1[SIZEN]={0},s2[SIZEN]={0}; int l1,l2; int f[SIZEN][SIZEN]={{0}}; //初始化 F[i][j] 表示长度为i的序列和长度为j的序列最长公共子序列长度 int max(int a,int b) { return a>b?a:b; } void read(void){ //读入数据处理,将输入的字幕全部转化为A-Z字母相应的数字存储 char str[SIZEN]; int i; scanf("%s",str); i=0; while(str[i]!='.') s1[i+1]=str[i]-'A',i++; l1=i; scanf("%s",str); i=0; while(str[i]!='.') s2[i+1]=str[i]-'A',i++; l2=i; } void dp(void){ //根据动态转移方程求DP[i][j] 表示长度为i的序列和长度为j的序列最长公共子序列长度 int i,j; for(i=1;i<=l1;i++){ for(j=1;j<=l2;j++){ if(s1[i]==s2[j]) f[i][j]=f[i-1][j-1]+1; else f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][j]); } } } int main(){ read(); dp(); printf("%d\n",f[l1][l2]); return 0; }
动态规划算法实现
#include <iostream> #include <string.h> #include <algorithm> #include <math.h> using namespace std; #define MAXSTRLEN 20 int Lcs(char x[], char y[], int path[][MAXSTRLEN])//求序列x和y的最长公共子序列,path保存路径指向,以方便打印公共子序列 { int i, j; int len1=strlen(x)-1; int len2=strlen(y)-1; int **c=new int*[len1+1]; for(i=0; i<=len1; i++) c[i]=new int[len2+1]; for(i=0; i<=len1; i++) c[i][0]=0; for(i=0; i<=len2; i++) c[0][i]=0; for(i=1; i<=len1; i++) for(j=1; j<=len2; j++)//从x[1],y[1]开始 { if(x[i]==y[j]) { c[i][j]=c[i-1][j-1]+1; path[i][j]=1; } else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1]) { c[i][j]=c[i-1][j]; path[i][j]=2; } else { c[i][j]=c[i][j-1]; path[i][j]=3; } } return c[len1][len2]; } void PrintLcs(int i, int j, char x[], int path[][MAXSTRLEN])//打印最长公共子序列 { if(i==0 || j==0) return; if(path[i][j]==1) { PrintLcs(i-1, j-1, x, path); cout<<x[i]; } else if(path[i][j]==2) PrintLcs(i-1, j, x, path); else PrintLcs(i, j-1, x, path); } void main() { char a[MAXSTRLEN]; char b[MAXSTRLEN]; int path[MAXSTRLEN][MAXSTRLEN]; gets(a+1);//a[0]不算,从a[1]开始 gets(b+1);//b[0]不算,从b[1]开始 cout<<Lcs(a, b, path)<<endl; cout<<"最长公共子序列:"; PrintLcs(strlen(a)-1, strlen(b)-1, a, path); cout<<endl; }
递归算法
#include <iostream> using namespace std; #define MAXSTRLEN 20 //递归算法 int Lcs(char *str1, char *str2) { if(*str1=='\0' || *str2=='\0') return 0; if(*str1==*str2) return Lcs(str1+1, str2+1)+1; else if(Lcs(str1+1, str2)>Lcs(str1, str2+1)) return Lcs(str1+1, str2); else return Lcs(str1, str2+1); } void main() { char a[MAXSTRLEN]; char b[MAXSTRLEN]; gets(a); gets(b); cout<<Lcs(a, b)<<endl; }