整数平方根：整数开方及大整数开方解决方法
求整数N的开方，精度在0.001
二分法
若N大于1,则从[1, N]开始，low = 1, high = N, mid = low + (high - low) >> 1开始进行数值逼近
若N小于1,则从[N, 1]开始，low = 0, high = N, mid = low + (high - low) >> 1开始进行数值逼近
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
#define ACCURACY 0.001
double newSqrt(double n)
{
double low, high, mid, tmp;
// 获取上下界
if (n > 1) {
low = 1;
high = n;
} else {
low = n;
high = 1;
}
// 二分法求开方
while (low <= high) {
mid = (low + high) / 2.000;
tmp = mid * mid;
if (tmp - n <= ACCURACY && tmp -n >= ACCURACY * -1) {
return mid;
} else if (tmp > n) {
high = mid;
} else {
low = mid;
}
}
return -1.000;
}
int main(void)
{
double n, res;
while (scanf("%lf", &n) != EOF) {
res = newSqrt(n);
printf("%lf\n", res);
}
return 0;
}
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int N;
cout<<"输入N的值：";
cin>>N
double x1 = 1;//初值
double x2 = x1/2.0+N/2.0/x1;
while( fabs(x2-x1)>0.001)
{
x1 = x2;
x2 = x1/2.0+N/2.0/x1;
}
cout<<x1<<endl;
return 0;
}
整数开方定义
所谓整数平方根即
。
算法
算法1.猜试法
利用等差级数公式:
这样的话, 
从1开始一直算到数列的前项和第一次大于x的时候,
即是所求。下面给出source
code(C):
unsigned linear_search(unsigned long x)
{
unsigned long sum_n = 1;
unsigned n = 1;
if(x <= 1)
{
return x;
}
while(sum_n <= x)
{
n++;
sum_n += (n<<1) - 1;
}
return (n-1);
}
这种方法无异于穷举法，其唯一的优点是：每次的迭代用到了前面迭代的结果，所以会有一些效率的增益。对于该算法的改进就是不穷举，改用我们熟悉的二分查找法来做。（二分逼近法）
unsigned bi_search(unsigned long x)
{
unsigned long sum_n = 0;
unsigned n = (x >> 1);
unsigned top = x;
unsigned bottom = 0;
if (x <= 1)
{
return x;
}
for (;;)
{
sum_n = n * n;
if (sum_n < x)
{
bottom = n;
n += ((top - bottom) >> 1);
if (n == bottom)
return n;
}
else
if (sum_n > x)
{
top = n;
n -= ((top - bottom) >>1);
if (n == top)
return n-1;
}
else
{
return n;
}
}
}
算法2 Newton 法
把这个问题转换为方程求根问题，即:
，求x。
而方程求根的问题可以用Newton 法来解决。现在的问题有一点不同，即所求的根必须是整数。通过证明，我们可以发现，Newton迭代公式是适用于整数情况的，于是有：
至于是怎么证明的，可以参考hacker’s delight。
另外，初值的选择也是很重要的一环，这里我们选择大于等于
的最小的2的幂次数。
OK，下面给出程序：
unsigned newton_method(unsigned long x)
{
unsigned long x1 = x - 1;
unsigned s = 1;
unsigned g0,g1;
/* 初值设定 通常将初始值设为1，但是只有1的开方才会是1，通过预处理找到更精确地初始值a[n]*/
if (x1 > 65535) {s += 8; x1 >>= 16;}
if (x1 > 255) {s += 4; x1 >>= 8;}
if (x1 > 15) {s += 2; x1 >>= 4;}
if (x1 > 3) {s += 1; x1 >>= 2;}
/*迭代*/
g0 = 1 << s;
g1 = (g0 + (x >> s)) >> 1;
while(g1 < g0)
{
g0 = g1;
g1 = (g0 + x/g0) >> 1;
}
return g0;
}
算法3 逐比特确认法
逐比特确认法认为一个32位整数求根，结果应该是一个16位整数。求这个16位整数，其实质是确认每位的比特是0还是1.我们把这个根分为两个相加的部分，一部分是已确认的值，另一部分是未确认的值。从高位到低位，每次迭代确认一位。初始时，已确认部分为0。则问题的初始形式为：
算法发明者为：James Ulery 论文:Computing Integer Square Roots
下面给出源代码：
unsigned bitwise_verification(unsigned long x)
{
unsigned long temp = 0;
unsigned v_bit = 15;
unsigned n = 0;
unsigned b = 0x8000;
if (x <= 1)
return x;
do{
temp = ((n << 1) + b) << (v_bit--);
if (x >= temp)
{
n += b;
x -= temp;
}
}while (b >>= 1);
return n;
}
性能比较
在0~1000000范围内对四种算法进行了遍历性的测试，得到测试结果：
显见四种算法的遍历性能以逐比特确认法为最好，逐比特确认法从本质上来说是一种二分查找法，而且其查找范围为整个16位整数域；而我们实现的二分查找法的查找范围到已知变量为止，从范围上来说比逐比特确认法来得小，但是最后平均性能却不及逐比特确认法。其原因在于：逐比特确认法把问题分解为相同的子问题的集合，采用递推的方法，很好地利用了前面步骤的结果，不用什么都从头算起，从而避免了重复劳动，用加减法和移位操作代替了乘除法操作，最终获得了性能上的增益。
需要注意的是，虽然平均性能有如此的关系。并不代表每个数或每组数都有这样的关系。实际上，我们每组产生1000个随机数，并对每组的算法性能进行了测试，各个算法都有获得优胜的时候。至于具体是什么场合用什么算法，需要分析和经验的支撑。目前，我所能归纳出的概要指导准则为：
（1）在大多数情况下，牛顿迭代都能获得不错的性能，
（2）逐比特确认法更适合运算数比较大的场合。
平方根手写算法
此文算是为大整数开根做好理论准备
1> 曾经写过迭代求平方根的算法，很是简单。假设求x的平方根，那么可以假设两个非常逼近的数a[n]和a[n+1],它们的平方都非常接近x：
因此求x的平方根，只要有一个初始值，然后用式（3）无限迭代下去就可以就算出足够精度的开方值。迭代求平方根的算法对于浮点数64位范围内的数计算是比较准确且迅速的，C函数库math.h中的sqrt函数貌似就是使用这种算法计算平方根的。
上述迭代求平方根的算法能够应用到大整数的开根中呢。理论上是没有任何问题的，实际中也是有人就这么做的，并且貌似还很开心的AC了。但使用此算法求大整数开根的话，要实现大整数加法和除法等基本运算，想想还是放弃了。
2>
接下来介绍一种手动模拟求平方根算法。非常巧妙，非常神奇。可能自己智商有点问题哈，仔细琢磨了几个小时才彻底明白。先仔细介绍如何使用这种算法模拟求平方根，然后再简要说一说它的原理吧！
/* 大整数开方 ,模拟手工开方*/
# include <stdio.h>
# include <string.h>
# include <stdlib.h>
# include <math.h>
# include <time.h>
# define MAXN 1001
void bigN_sqrt(char *s);
int bigN_cmp(char *a, char *b, int lim);
void bigN_mul(char *a, int k, int lim);
void bigN_add(char *a, int k);
void bigNN_minus(char *a, char *b, int lim);
int Newtonsqrt(double x); //牛顿迭代可求求64位数的平方根
char str[MAXN];
int main()
{
freopen("hugeint.in", "r", stdin);
freopen("hugeint.out", "w", stdout);
while (~scanf("%s", str))
bigN_sqrt(str);
// printf("time cost %.3lfs.\n", (double)clock()/CLOCKS_PER_SEC);
return 0;
}
int bigN_cmp(char *a, char *b, int lim)
{
int i;
for (i = lim-1; i >= 0; --i)
if (a[i] < b[i]) return 1;
else if (a[i] > b[i]) return -1;
return 0;
}
void bigN_mul(char *a, int k, int lim)
{
int i, tmp, c;
for (c=i=0; i < lim; ++i) {
tmp = a[i]*k + c;
c = tmp / 10;
a[i] = tmp - 10*c;
}
}
void bigN_add(char *a, int k)
{
int i = 0;
while (k > 0) {
a[i++] += k%10;
k /= 10;
}
}
void bigNN_minus(char *a, char *b, int lim) // b = b - a;
{
int i, tmp, c;
for (c=i=0; i < lim; ++i) {
tmp = b[i] - a[i] + c;
c = (tmp<0 ? -1:0);
b[i] = (tmp+10) % 10;
}
}
int Newtonsqrt(double x)
{
double x1 = 1;//初值
double x2 = x1/2.0+x/2.0/x1;
while( fabs(x2-x1)>0.1)
{
x1 = x2;
x2 = x1/2.0+x/2.0/x1;
}
return floor(x1);
}
void bigN_sqrt(char *s)
{
short int i, k, slen; // 根的一个十进制位
char res[MAXN]; // 试方余数
char cur[MAXN]; // 试方上限
char tmp[MAXN];
int lim;
memset(res, 0, sizeof(res));
memset(cur, 0, sizeof(cur));
lim = slen = strlen(s);
if (slen < 18) {
//非大整数，直接调用sqrt()计算平方根，结束 。sqrt()计算平方根并非完全正确，在测试的过程中
// sqrt(8456552264) = 91960 ，而实际上 8456552264的平方根是91959 ，因此采用Newton迭代法求解
// printf("%.0lf\n", sqrt(atof(s)));
// printf("%.0lf\n", sqrt(8456552264));
double value=atof(s);
printf("%d",Newtonsqrt(value));
return ;
}
if (slen & 0x1) {
k = -1;
cur[0] = s[0] - 48;
} else {
k = 0;
cur[1] = s[0] - 48;
cur[0] = s[1] - 48;
}
while (1) {
i = 0;
while (1) {
++i;
memcpy(tmp, res, MAXN);
bigN_mul(tmp, i*20, lim);
bigN_add(tmp, i*i);
if (-1 == bigN_cmp(tmp, cur, lim)) break; // break until tmp > cur;
}
--i;
printf("%d", i);
memcpy(tmp, res, MAXN); //cur -= res*i*20+i*i;
bigN_mul(tmp, i*20, lim);
bigN_add(tmp, i*i);
bigNN_minus(tmp, cur, lim);
bigN_mul(res, 10, lim); // res = res*10+i;
bigN_add(res, i);
k += 2;
if (k >= slen) break;
else {
bigN_mul(cur, 100, lim);
bigN_add(cur, ((s[k]-48)*10+(s[k+1]-48)));
}
}
printf("\n");
}
