树状数组
树状数组是一个优美小巧的数据结构，在很多时候可以代替线段树。一句话概括就是，凡是树状数组可以解决的问题，线段树都可以解决，反过来线段树可以解决的问题，树状数组不一定能解决。
树状数组英文名称为Binary Index Tree，直译过来就是二进制索引树，我觉得二进制索引树更能说明其本质。树状数组的本质就是一种通过二进制位来维护一个序列前i和的数据结构。
对于维护的序列A，定义C[i]=A[j+1]+...+A[i]，其中j为i的二进制表示中把最右边的1换成0的值。j的值可以通过lowbit求出，即i-lowbit(i)。
lowbit(a)为2^(a的二进制表示末尾0的个数)。可以用下面式子求出
lowbit(a)=a&(~a+1)
或者根据补码的性质简化为
lowbit(a)=a&(-a)
修改方式如下
void modify(int p,int delta)
{
while (p<=N)
{
C[p]+=delta;
p+=lowbit(p);
}
}
求前缀和如下
int sum(int p)
{
int rs=0;
while (p)
{
rs+=C[p];
p-=lowbit(p);
}
return rs;
}
树状数组经常用来求一段区间的和，适用于该区间上的值是在不断变化的情景(不然就前缀和处理下就行了)，常规数组的修改是O(1)，区间查询是O(n)，而树状数组的修改和查询都是O(lgn). 尽管线段树也能处理这种情况，并且功能要强大的多，但是树状数组编码上简单太多~
感谢评论区的补充：树状数组往高维扩展时非常方便(加个循环的事情)，而线段树则写起来非常麻烦
树状数组需要一个辅助数组C，假设输入数组是A,则C[i]表示A[i-2^k+1]+…+A[i]总共2^k个数的和，其中k为i在二进制表示下从右到左连续0的个数。可以看一下这张图，基本就能明白了
我们选择C[6]来解释下这个图，6的二进制表示为110,那么从右向左连续0的个数是1，所以C[6]表示2^1=2个连续数的和，也就是A[5]+A[6],再看C[8],8的二进制表示为1000，从右往左连续0的个数的3，所以C[8]表示2^3=8个连续数的和，也就是A[1]+…A[8]，可以用x&(-x)开快速求得2^k
现在来看下对数组中的某个数做修改，数组C会怎么变，假设我们对A[3]进行了修改，那么C[3]肯定是要改变的，因为C[3] = A[3],C[4]也是要改变的，C[4]=A[3]+A[4],然后改变的就是C[8],C[16]等等。。。可以看到，其实是和二进制相关的，故修改的复杂度是O(lgn)
然后来看下对数组中某个区间做查询该怎么处理。假设查询q = (l,r)表示求区间l到r之间的数的和，用sum(x)表示下标从1到x之间的数据之和，则q = sum(r)-sum(l-1),那么如何快速的来求sum(x)呢？我们可以看一个例子，假设我们要求sum(7),sum(7) = C[7]+C[6]+C[4],首先C[7]只表示1个数的和A[7]，处理了A[7]之后，我们要求前6个数的和，这时候C[6]表示两个数的和A[5]+A[6]，接下来只需要处理前4个数据的和就行了，刚好C[4]表示前4个数据的和，可以看到并不是一个个的去加，而是利用二进制的思想，一段一段的加，复杂度为O(lgn)
对具体如何实现如果有疑问可以看看下面的代码，实现起来非常简单明了
hdu1166:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1166
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <string.h>
using namespace std;
const int N = 50010;
int c[N];
int n,t;
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
void add(int index, int addValue)
{
while (index <= n)
{
c[index] += addValue;
index += lowbit(index);
}
}
int sum(int index)
{
int ret = 0;
while (index >= 1)
{
ret += c[index];
index -= lowbit(index);
}
return ret;
}
int main()
{
scanf("%d", &t);
for (int cas = 1; cas <= t;cas++)
{
printf("Case %d:\n", cas);
memset(c, 0, sizeof c);
cin >> n;
for (int i = 1; i <= n; i++)
{
int x;
scanf("%d", &x);
add(i, x);
}
string query;
while (cin>>query)
{
if (query == "End")
break;
else if (query == "Add"||query=="Sub")
{
int index, value;
scanf("%d%d", &index, &value);
add(index, value*(query=="Add"?1:-1));
}else
{
int from, to;
scanf("%d%d", &from, &to);
printf("%d\n", sum(to) - sum(from - 1));
}
}
}
return 0;
}hdu1541: http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1541#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 50010;
int c[N];
pair<int, int> input[N];
int n,t;
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
int sum(int index)
{
int ret = 0;
while (index > 0)
{
ret += c[index];
index -= lowbit(index);
}
return ret;
}
void add(int index, int addValue)
{
while (index < N)
{
c[index] += addValue;
index += lowbit(index);
}
}
int main()
{
while (cin >> n)
{
memset(c, 0, sizeof c);
for (int i = 0; i < n; i++)
{
cin >> input[i].first >> input[i].second;
input[i].first++;
input[i].second++;
}
sort(input, input + n);
map<int, int> ret;
for (int i = 0; i < n; i++)
{
int y = input[i].second;
int cnt = sum(y);
ret[cnt]++;
add(y, 1);
}
for (int i = 0; i < n ; i++)
cout << ret[i] << endl;
}
return 0;
}二维树状数组：add 的功能是改变元素(x, y)，sum的功能则是求从元素(1, 1)开始到(x, y)的总和，同样，可以求出任意一个子矩阵内的所有元素之和，即sum(x2, y2) – sum(x1-1, y2) – sum(x2, y1-1) + sum(x1-1, y1-1) 代码也很简单，可以两个for循环，也可以两个while来写，最显而易见的应用就是快速求子矩阵的和
poj1195:http://poj.org/problem?id=1195
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 1100;
int c[N][N];
int n,t,k;
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
void add(int x, int y,int v)
{
while (x <= n)
{
int tempy = y;
while (tempy <=n )
{
c[x][tempy] += v;
tempy += lowbit(tempy);
}
x += lowbit(x);
}
}
int sum(int x, int y)
{
int ret = 0;
while (x>0)
{
int tempy = y;
while (tempy > 0)
{
ret += c[x][tempy];
tempy -= lowbit(tempy);
}
x -= lowbit(x);
}
return ret;
}
int main()
{
int q;
memset(c, 0, sizeof c);
while (cin >> q)
{
if (q == 0)
{
cin >> n;
n++;
}
else if (q == 1)
{
int x, y, v;
cin >> x >> y >> v;
x++, y++;
add(x, y, v);
}
else if (q == 2)
{
int x1, y1, x2, y2;
cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2;
x1++, x2++, y1++, y2++;
cout << sum(x2, y2) - sum(x2, y1 - 1) - sum(x1 - 1, y2) + sum(x1 - 1, y1 - 1) << endl;
}
else
break;
}
return 0;
}poj2155:http://poj.org/problem?id=2155
这题其实算是二维数组的反向思维题，假定要翻转区间(x1,y1)-(x2,y2)的值，可以在(x1,y1)(x1,y2+1)(x2+1,y1)(x2+1,y2+1)四个点分别加1，然后可以发现，求某个点的值，就是求sum(i,j)%2
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <string>
#include <string.h>
#include <algorithm>
#include <map>
using namespace std;
const int N = 1010;
int c[N][N];
int n,t,k;
int lowbit(int i)
{
return i&(-i);
}
void add(int x, int y)
{
while (x < N)
{
int tempy = y;
while (tempy < N)
{
c[x][tempy] += 1;
tempy += lowbit(tempy);
}
x += lowbit(x);
}
}
int sum(int x, int y)
{
int ret = 0;
while (x>0)
{
int tempy = y;
while (tempy > 0)
{
ret += c[x][tempy];
tempy -= lowbit(tempy);
}
x -= lowbit(x);
}
return ret;
}
int main()
{
cin >> t;
while (t--)
{
memset(c, 0, sizeof c);
cin >> n >> k;
n++;
while (k--)
{
char query;
int x1,y1,x2,y2;
cin >> query >> x1 >> y1;
if (query == 'C')
{
cin >> x2 >> y2;
add(x2+1, y2+1);
add(x2+1, y1 );
add(x1, y2+1);
add(x1, y1);
}
else
{
cout << sum(x1, y1)%2 << endl;
}
}
cout << endl;
}
return 0;
}树状数组另一个强大的地方在于往高维扩展非常方便，比如求子矩阵和会非常方便。而二维线段树则要麻烦得多。二维树状数组就是加个for的事情，二维线段树麻烦的让人不想写。
