数值分析期末复习

第五章 插值法与拟合法

拉格朗日插值

已知函数在 $n+1$ 个点上的函数值 $f(x_i)$：

• 基函数： $l_{in}=\prod _{k=0,k\ne i}^n{\displaystyle \frac{x-x_k}{x_i-x_k}}$
• 插值多项式：$L(x)=\sum _{i=0}^n{y}_i{l}_{in}$
• 插值余项：${\displaystyle \frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}{\omega }_{n+1}(x)$，其中 $\xi \in (a,b),{\omega }_{n+1}(x)=\prod _{k=0}^n(x-x_k)$

拉格朗日插值是 $n$ 阶多项式插值，取两个点则是线性插值（$n=1$），取三个点得到抛物线插值（$n=2$）

牛顿插值

差商

• 一阶差商：$f[x_i,x_j]={\displaystyle \frac{x_j-x_i}{j-i}}$
• 二阶差商：$f[x_i,x_j,x_k]={\displaystyle \frac{f[x_j,x_k]-f[x_i,x_j]}{k-i}}$
• $k$ 阶差商：$f[x_{i0},x_{i1},\cdots ,x_{ik}]={\displaystyle \frac{f[x_{i1},x_{i2},\cdots ,x_{ik}]-f[x_{i0},x_{i1},\cdots ,x_{ik-1}]}{x_{ik}-x_{i0}}}$

差商的性质

• 若 $f(x)$ 有 $k$ 阶连续导数，则 $f[x_{i0},x_{i1},\cdots ,x_{ik}]={\displaystyle \frac{f^{(k)}(\xi )}{k!}}$
• $n$ 次多项式 $f(x)$ 的 $k$ 阶差商，在 $k<n$ 时是一个 $n-k$ 阶的多项式，在 $k\ge n$ 时恒等于 $0$

牛顿插值

• 插值多项式：$N_n(x)=f(x_0)+f[x_0,x_1](x-x_0)+f[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1)+\cdots +f[x_0,x_1,\cdots ,,x_n](x-x_0)(x-x_1)\cdots (x-x_{n-1})$
• 插值余项：$R_n(x)=f[x_0,x_1,\cdots ,x_n,x]{\omega }_{n+1}(x)$

如果插值节点等距，则：

• 当 $x$ 靠近 $x_0$ 时，可以用前插公式
• 当 $x$ 靠近 $x_n$ 时，可以用后插公式

埃尔米特插值

给定 $n$ 个插值条件，构造 $n-1$ 次插值多项式。题型一般为给定 $4$ 个条件 $H(0)=f(0),H(1)=f(1),H^{\prime }(0)=f^{\prime }(0),H^{\prime }(1)=f^{\prime }(1)$ 进行插值，要构造三次多项式 $H(x)=f(0)h_1(x)+f(1)h_2(x)+f^{\prime }(0)h_3(x)+f^{\prime }(1)h_4(x)$，再利用插值条件解出 $h_i(x)$。

因为 $H(0)=f(0)$，带入构造的多项式有 $H(0)=f(0)h_1(0)+f(1)h_2(0)+f^{\prime }(0)h_3(0)+f^{\prime }(1)h_4(0)$，不妨令 $h_1(0)=1,h_2(0)=0,h_3(0)=0,h_4(0)=0$。对其他三个插值条件如法炮制，得到

$$\begin{array}{r}{h}_1(0)=1,h_2(0)=0,h_3(0)=0,h_4(0)=0\\ h_1(1)=0,h_2(1)=1,h_3(1)=0,h_4(1)=0\\ h_1^{\prime }(0)=0,h_2^{\prime }(0)=0,h_3^{\prime }(0)=1,h_4^{\prime }(0)=0\\ h_1^{\prime }(1)=0,h_2^{\prime }(1)=0,h_3^{\prime }(1)=0,h_4^{\prime }(1)=1\end{array}$$

纵向看，可以用为 $0$ 的点设出 $h_1(x)=(ax+b)(x-1{)}^2,h_2(x)=x^2(cx+d),h_3(x)=ex(x-1{)}^2,h_4(x)=f{x}^2(x-1)$，代入为 $1$ 的数据即可解出。

三次样条插值

只考定义，构造插值多项式的 M 方法不考。

定义：

1. $S(x)\in C^2[a,b]$
2. $S(x)$ 在每个小区间上是三次多项式
3. $S(x_k)=f(x_k)$（插值法的要求）

第一条是常见命题点，通过比较区间交界点处函数值、一二阶导数值是否相等，计算函数的待定系数。