ABC382 C-F题解

C - Kaiten Sushi

把寿司都放到一个堆里，从前往后扫 $A$ 数组，如果当前食客 $A_i$ 小于等于堆顶，就取出堆顶，记录这份寿司被第 $i$ 个人吃掉。复杂度 $O(n\log m)$。

D - Keep Distance

搜索回溯，但每一步从 $10$ 枚举到 $m$ 会超时，剪一下枝 for (int i = 10; res.back() + i <= m - 10 * (n - siz - 1); i++)。

E - Expansion Packs

设 $f_i$ 表示再拿 $i$ 个稀有卡期望 $f_i$ 步，发现 $f_i=1+f_i{g}_0+f_{i-1}{g}_1+fi-2g_2+\cdots$。把 $f_i{g}_0$ 移到等式左边，有 $(1-g_0)f_i=1+\sum _{j=1}^i{f}_{i-j}{g}_j$，其中 $g_j$ 表示从一个袋子里拿到 $j$ 个稀有卡的概率。得到 dp 方程 $f_i={\displaystyle \frac{1+\sum _{j=1}^i{f}_{i-j}{g}_j}{1-g_0}}$。

$g$ 数组可以通过 $O(n^2)$ 的 dp 求出。设 $d{p}_{i,j}$ 表示一个袋子里前 $i$ 张卡中有 $j$ 个稀有卡的概率，于是有 $d{p}_{i,j}=d{p}_{i-1,j-1}{p}_i+d{p}_{i-1,j}(1-p_i)$，注意 $j=0$ 时的边界情况。$d{p}_{n,j}$ 即为 $g_j$。

void solve() {
    using f128 = long double;
    int n, x;
    cin >> n >> x;
    vector<f128> p(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> p[i];
        p[i] /= 100;
    }
    vector dp(n + 1, vector<f128>(n + 1));
    dp[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 0; j <= i; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] * (1 - p[i]);
            if (j) dp[i][j] += dp[i - 1][j - 1] * p[i];
        }
    }
    vector<f128> f(x + 1, 1);
    vector<f128>& g = dp[n];
    f[0] = 0;
    for (int i = 1; i <= x; i++) {
        for (int j = 1; j <= min(n, i); j++)
            f[i] += f[i - j] * g[j];
        f[i] /= (1 - g[0]);
    }
    cout << fixed << setprecision(16) << f[x] << '\n';
}

F - Falling Stars

把横线从下到上排序，开一棵线段树记录每个位置摞了多少层。要加入一条横线的时候，先查询对应区间 $[C_i,C_i+L_i-1]$ 的最小值（最高层数）$r$，则该横线的层数就是 $r-1$，区间赋值 $r-1$ 即可。AC代码