CF1877D Effects of Anti Pimples

传送门。每个数作为最大值时的贡献显然是 $a_i\times cn{t}_i$，$cn{t}_i$ 为 $a_i$ 在多少种染色方案中作为最大值出现，我们主要来对每个数求 $cn{t}_i$。

我们对于从 $1$ 到 $n$ 枚举元素，求出它和能被它染成绿色的所有元素中的最大值 $mx$。现在钦定 $a_i$ 为最大值，则当前的染色方案一定不能染黑那些 $mx$ 值大于 $a_i$ 的元素，否则 $a_i$ 就不是最大值了。而对于 $mx=a_i$ 的元素（设有 $x$ 个），我们至少选择一个，得到 $2^x-1$ 种选择；对于 $mx<a_i$ 的元素（设有 $y$ 个），我们随意选择，得到 $2^y$ 种选择；乘算起来，得到总方案数 $(2^x-1)\times 2^y$。

具体实现上，排序 $mx$ 数组，二分 $mx=a_i$ 的上下界即可。时间复杂度 $O(n\log n)$，瓶颈在于计算 $mx$；值得注意的是，因为 $1+{\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}+\cdots +{\displaystyle \frac{1}{n}}$ 是对数级的，所以不会超时。

void solve() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n + 1), mul(n + 1);
    mul[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
        mul[i] = mul[i - 1] * 2 % mod;
    }
    vector<int> maxc(n + 1);
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        for (int j = i; j <= n; j += i)
            maxc[i] = max(maxc[i], a[j]);
    sort(maxc.begin() + 1, maxc.end());
    unordered_set<int> vis;
    int ans = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        if (vis.count(a[i])) continue;
        int r = upper_bound(maxc.begin() + 1, maxc.end(), a[i]) - maxc.begin() - 1;
        int l = lower_bound(maxc.begin() + 1, maxc.end(), a[i]) - maxc.begin() - 1;
        ans = (ans + (LL)a[i] * (mul[r - l] - 1) % mod * mul[l] % mod) % mod;
        vis.insert(a[i]);
    }
    cout << ans << endl;
}