P8649 [蓝桥杯 2017 省 B] k 倍区间

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方法一：模拟暴力(20分)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int max_n=100010;
int n, k, a[max_n];
long long ans, s;
int main()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i=1; i<=n; i++)cin>>a[i];
	for(int i=1; i<=n; i++){
		s=0;
		for(int j=i; j<=n; j++){
			s=(s+a[j])%k;
			if(s==0)
				ans++;
		}
	}	
	cout<<ans;
	return 0;
 } 

方法二：前缀和

• 图中的第一排[1, 2, 5, 4, 3]是A数组。绿色的第二排是前缀和，天蓝色的第三排是前缀和%K之后的结果，这里我们假设K=2。
• 我们之前的算法，实际上就是在第三排的数组里，找两个相等的值。每一对相等的值，都对应着一个K倍区间。比如第三排有3个0，第一个0和第二个0，对应[1, 2, 5]这个区间；第一个和第三个0，对应[1, 2, 5, 4]这个区间；第二个和第三个0，对应[4]这个区间。
• 所以我们已知第三排数组有3个0和3个1的情况下，可以直接用组合数求出来K倍区间的数目：C(3,2)+C(3, 2)=6。C(3, 2)是指从3个物品里取出2个来的组合数。因为有3个0和3个1，所以答案就是C(3, 2)+C(3, 2)。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int max_n=100010;
int n, k, a[max_n];
long long s[max_n];
long long ans, cnt[max_n];
int main()
{
	cin>>n>>k;
	for(int i=1; i<=n; i++)cin>>a[i];
	cnt[0]=1;
	//我们保存余数是X的前缀和有多少个，cnt[0]存储的是余数是0的前缀和有几个，cnt[1]存储的是余数是1的前缀和有几个，以此类推。 
	//初始值为cnt[s[0]%k]=1说前缀和里有1个0。
	for(int i=1; i<=n; i++){
		s[i] = (s[i-1] + a[i])%k;//计算出s[i]然后立刻%k求余数。
		cnt[s[i]]++;//把当前这个余数的出现次数累加。
		//在一边求前缀和，一边统计前缀和模K的余数0~(K-1)分别出现了多少次。第
	}
	for(int i=0; i<k; i++)//注意i从0到K-1，因为模K的余数最小是0，最大是K-1。模K余i的前缀和一共有cnt[i]个，所以我们从这cnt[i]个前缀中随便拿出两个就对应一个K倍区间。
		ans += cnt[i]*(cnt[i]-1)/2;//任意取两个均能相减为0 
	
	cout<<ans;
	return 0;
 }