P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

题目链接：https://www.luogu.com.cn/problem/P3379

方法一：暴力求公共祖先

1.向上标记法（重点了解26-44行）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, s;
const int maxn=5e6;
const int maxm=5e6;
struct edge{
    int t, nex;
}e[maxm<<1];
int head[maxn], cnt;
void add(int u, int v){
    e[++cnt].t=v;
    e[cnt].nex=head[u];
    head[u]=cnt;
}
int depth[maxn], fa[maxn];
void dfs(int now, int fath)
{
    fa[now]=fath; //fa[i]代表i的父亲 
    depth[now]=depth[fath]+1;
    //cout<<now<<":"<<fa[now]<<"　"<<depth[now]<<endl; 
    for(int i=head[now]; i; i=e[i].nex)
        if(e[i].t != fath)
            dfs(e[i].t, now);
}

int flag[maxn]; //向上标记法
int lca1(int x, int y) 
{
    memset(flag, 0, sizeof(flag));//每次初始化为0 
    if(x==y)return x;
    flag[x]=1;
    while(fa[x]){//x向上走到根，根的父亲节点为0 
        x=fa[x];
        flag[x]=1; 
    }
    if(flag[y])//y节点是x的祖先 
        return y;
    while(fa[y]){
        y=fa[y];
        if(flag[y])
            return y;
    }
    return 0;//森林，无LCA 
} 
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
    for(int i=1; i<n; i++){
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y); add(y, x);
    }
    dfs(s, 0);
    while(m--){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        printf("%d\n", lca1(a, b));
    }
    return 0;
}

2.同步前进法（重点了解25-38行）

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, s;
const int maxn=5e6;
const int maxm=5e6;
struct edge{
    int t, nex;
}e[maxm<<1];
int head[maxn], cnt;
void add(int u, int v){
    e[++cnt].t=v;
    e[cnt].nex=head[u];
    head[u]=cnt;
}
int depth[maxn], fa[maxn];
void dfs(int now, int fath)
{
    fa[now]=fath; //fa[i]代表i的父亲 
    depth[now]=depth[fath]+1;// 
    //cout<<now<<":"<<fa[now]<<"　"<<depth[now]<<endl; 
    for(int i=head[now]; i; i=e[i].nex)
        if(e[i].t != fath)
            dfs(e[i].t, now);
}
int lca(int x, int y) //同步前进法
{
    if(x==y)return x;//同点 
    if(fa[x]==fa[y])return fa[x];//同根
    if(depth[x]<depth[y])//不妨设x的深度 >= y的深度
        swap(x, y);
    while(depth[x] > depth[y])
        x=fa[x];
    if(x==y)return x;//y节点是x的祖先
    while(fa[x] != fa[y]){//父亲不相等，两个点同时网上爬，直到父亲相等 
        x=fa[x]; y=fa[y];
    }
    return fa[x];//返回父亲节点 
} 
int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &s);
    for(int i=1; i<n; i++){
        int x, y;
        scanf("%d%d", &x, &y);
        add(x, y); add(y, x);
    }
    dfs(s, 0);
    while(m--){
        int a, b;
        scanf("%d%d", &a, &b);
        printf("%d\n", lca(a, b));
    }
    return 0;
}

 

 同样是暴力，数据差别还是很大的。

 方法二：倍增，ST表

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=5e5+10;
const int maxm=5e5+10;
int n, m, s;
struct edge{
    int to, next;
}e[maxm<<1];
int head[maxn],cnt;
void add(int u, int v){
    e[++cnt].to=v;
    e[cnt].next=head[u];
    head[u]=cnt;
}
int lg[maxn];
void log_2(){//功能相当于log2函数 
    lg[0]=-1;
    for(int i=1; i<=n; i++)lg[i]=lg[i/2]+1;
}

int dep[maxn], f[maxn][22];//通过dfs计算各个节点的深度，初始化f[i][0] 
void dfs(int u)
{
    for(int i=head[u]; i; i=e[i].next){
        int v=e[i].to;
        if(f[u][0] == v)//避免双向重复dfs 
            continue;
        dep[v]=dep[u]+1;//深度计算 
        f[v][0]=u;//初始化 
        dfs(v);
    }
}
void st_create(){//创建st表 
    for(int j=1; j<=lg[n]; j++)
        for(int i=1; i<=n; i++)
            f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1];
}

int lca(int x, int y)
{
    if(dep[x] < dep[y])//不妨设x的深度 >= y的深度
        swap(x, y);
    while(dep[x] > dep[y])
        x = f[x][lg[dep[x]-dep[y]]];
    if(x == y)  //如果x是y的祖先，那他们的LCA肯定就是x了
        return x;
    for(int k=lg[n]; k>=0; --k)
        if(f[x][k] != f[y][k])//因为我们要跳到它们LCA的下面一层，所以它们肯定不相等，如果不相等就跳过去。
            x=f[x][k], y=f[y][k];
    return f[x][0];//返回父亲节点
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n, &m, &s);
    for(int i=1; i<n; i++){
        int x, y;
        scanf("%d%d",&x, &y);
        add(x, y);add(y, x);
    }
    log_2();
    dfs(s);
    st_create();
    while(m--){
        int a, b;
        scanf("%d%d",&a, &b);
        printf("%d\n", lca(a, b));
    }
    return 0;
}