小奇赏花

题目描述

桃之夭夭还绿了芭蕉
管他雨打风吹夜潇潇
花绽了新红也会凋
少年的心儿永不老
——《桃花笑》
小奇的花园里有n行m列棵桃花树，花色各不相同。小奇漫步在花园中，有时它觉得某一行/列的桃花很美，便会在这一整行/列的每棵树下捡一枚花瓣，到了傍晚，他发现自己选择了r行c列（同一行/列可能被选择不止一次）的花瓣。
回家之后，小奇发现：有s种颜色的花瓣数为奇数，他想知道，有多少种选择方案能有这样的效果呢？
（两种方案不同当且仅当某行/列被选择的次数不同）

输入

第一行包括5个整数，n，m，r，c，s。

输出

输出一个整数表示答案（mod 1000000007）。

样例输入

2 2 2 2 4

样例输出

4

提示

对于 20% 的数据, n，m ≤ 4，r，c  ≤ 4； 
对于 50% 的数据, n，m ≤ 500，r，c  ≤ 2000； 对于另外 10% 的数据, n，m ≤ 100000，s = n * m； 
对于 100% 的数据, n，m ≤ 100000，r，c  ≤ 100000，s  ≤  10^12。

发现，如果确定有多少行是奇数行，有多少列是奇数列，那么就可以求得有多少点是奇数点。
所以设有 x 个奇行,y 个奇列,然后 S=x(m-y)+(n-x)y,枚举 x,则 y=(S-xm)/(n-2x),这样可以算出 y,（注意当n-2x==0时，在s-xm==0时这方程有无数解）

此时我们就知道了x行为奇数行，y列为奇数列，这些行列排布的方案数为C(n,x)*C(m,y)

对每一种方案数，以行为例，r个物品，x行放奇数个，n-x行放偶数个，可以为空。我们先再x行上每行放1个，剩下的两个一组去放，就可以实现上述要求。即方案数为C((r-x)/2+n-1,n-1)。

 

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=2e5+50;
const int p=1e9+7;
ll n,m,r,c,s,ans;
ll fac[N],ine[N],f[N];
ll poww(ll x,ll y,int p)
{
    ll ret=1,tt=x;
    while(y)
    {
        if (y&1) ret=(ret*tt)%p;
        tt=(tt*tt)%p;
        y>>=1;
    }
    return ret;
}
void pre()
{
    fac[0]=1;for(int i=1;i<=200000;i++)fac[i]=fac[i-1]*i%p;
    ine[1]=1;
    for(int x=2;x<=200000;x++)
    {
        ll a=p/x,b=p%x;
        ine[x]=(-a*ine[b]%p+p)%p;
    }
    f[0]=1;for(int i=1;i<=200000;i++)f[i]=f[i-1]*ine[i]%p;
}
ll C(ll a,ll b)
{
    if(b==0)return 1;
    return fac[a]*f[a-b]%p*f[b]%p;
}
void cal(ll x,ll y)
{
 //   cout<<x<<' '<<y<<endl;
    if ((r-x)%2||(c-y)%2) return;  //剩余的行和列需要为偶数次

    ll t1=(r-x)/2,t2=(c-y)/2;    //两两结合保证奇偶性
    ll cnt=C(n,x)*C(m,y)%p;      //行和列的选择方案

    cnt=cnt*C(t1+n-1,n-1)%p*C(t2+m-1,m-1)%p;
    ans=(ans+cnt)%p;

}
int main()
{
   // freopen("Caitlyn_7.in","r",stdin);
    scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&n,&m,&r,&c,&s);
    pre();
    for (ll x=0;x<=r&&x<=n;x++)
    {
        if (n-2*x==0) //被除数是0
        {
            if (x*m==s) //系数是0
            {
                for (int i=0;i<=m;i++) cal(x,i); //y取任意值
            }
        }
        else if((s-x*m)%(n-2*x)==0)
        {
            ll y=(s-x*m)/(n-2*x);
            if (y>=0&&y<=c&&y<=m) cal(x,y);
        }
    }
    printf("%lld\n",ans);
  //  fclose(stdin);
    return 0;
}