七夕祭

 

题目描述

七夕节因牛郎织女的传说而被扣上了「情人节」的帽子。于是TYVJ今年举办了一次线下七夕祭。Vani同学今年成功邀请到了cl同学陪他来共度七夕，于是他们决定去TYVJ七夕祭游玩。
TYVJ七夕祭和11区的夏祭的形式很像。矩形的祭典会场由N排M列共计N×M个摊点组成。虽然摊点种类繁多，不过cl只对其中的一部分摊点感兴趣，比如章鱼烧、苹果糖、棉花糖、射的屋……什么的。Vani预先联系了七夕祭的负责人zhq，希望能够通过恰当地布置会场，使得各行中cl感兴趣的摊点数一样多，并且各列中cl感兴趣的摊点数也一样多。不过zhq告诉Vani，摊点已经布置完毕了，唯一的调整方式就是交换两个相邻的摊点。两个摊点相邻，当且仅当他们处在同一行或者同一列的相邻位置上。由于zhq率领的TYVJ开发小组成功地扭曲了空间，每一行或每一列的第一个位置和最后一个位置也算作相邻。现在Vani想知道他的两个要求最多能满足多少个。在此前提下，至少需要交换多少次摊点。

 

输入

第一行包含三个整数N和M和T。T表示cl对多少个摊点感兴趣。
接下来T行，每行两个整数x,y，表示cl对处在第x行第y列的摊点感兴趣。

 

输出

首先输出一个字符串。如果能满足 Vani 的全部两个要求，输出 both；如果通过调整 只能使得各行中 cl 感兴趣的摊点数一样多，输出 row；如果只能使各列中 cl 感兴趣的摊点 数一样多，输出 column；如果均不能满足，输出 impossible。
如果输出的字符串不是 impossible， 接下来输出最小交换次数，与字符串之间用一 个空格隔开。

 

样例输入

2 3 4
1 3
2 1
2 2
2 3

 

样例输出

row 1

 

提示

对于30%的数据，N,M≤100。
对于70%的数据，N,M≤1000。
对于100%的数据，1≤N,M≤100000，0≤T≤min(NM,100000)，1≤x≤N，1≤y≤M。

 

显然，在列上和在行上的操作是或不影响的，故将其分开来讨论。
在单独处理行或列的时候就是分糖果问题（n个小朋友围成一圈，每人有a[i]颗糖果，只能给左边或右边的人，求均分的最小移动）

分糖果问题的解决如下（来自hzwer的题解）
首先，最终每个小朋友的糖果数量可以计算出来，等于糖果总数除以n，用ave表示。
假设标号为i的小朋友开始有Ai颗糖果，Xi表示第i个小朋友给了第i-1个小朋友Xi颗糖果，如果Xi<0，说明第i-1个小朋友给了第i个小朋友Xi颗糖果，X1表示第一个小朋友给第n个小朋友的糖果数量。 所以最后的答案就是ans=|X1| + |X2| + |X3| + ……+ |Xn|。
对于第一个小朋友，他给了第n个小朋友X1颗糖果，还剩A1-X1颗糖果；但因为第2个小朋友给了他X2颗糖果，所以最后还剩A1-X1+X2颗糖果。根据题意，最后的糖果数量等于ave，即得到了一个方程：A1-X1+X2=ave。
同理，对于第2个小朋友，有A2-X2+X3=ave。最终，我们可以得到n个方程，一共有n个变量，但是因为从前n-1个方程可以推导出最后一个方程，所以实际上只有n-1个方程是有用的。
尽管无法直接解出答案，但可以用X1表示出其他的Xi，那么本题就变成了单变量的极值问题。
对于第1个小朋友，A1-X1+X2=ave  ->  X2=ave-A1+X1 = X1-C1(假设C1=A1-ave，下面类似）
对于第2个小朋友，A2-X2+X3=ave  ->  X3=ave-A2+X2=2ave-A1-A2+X1=X1-C2
对于第3个小朋友，A3-X3+X4=ave  ->  X4=ave-A3+X3=3ave-A1-A2-A3+X1=X1-C3
……
对于第n个小朋友，An-Xn+X1=ave。
  我们希望Xi的绝对值之和尽量小，即|X1| + |X1-C1| + |X1-C2| + ……+ |X1-Cn-1|要尽量小。注意到|X1-Ci|的几何意义是数轴上的点X1到Ci的距离，所以问题变成了：给定数轴上的n个点，找出一个到他们的距离之和尽量小的点，而这个点就是这些数中的中位数，证明略。

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,m,t;
ll l[N],r[N],c[N],ans;
void does()
{
    if(t%n==0)
    {
        ll ave=t/n;
        for (int i=2;i<=n;i++) c[i]=c[i-1]+l[i]-ave;
        sort(c+1,c+1+n);
        ll mid=c[(n+1)/2];
        for(int i=1;i<=n;i++) ans+=abs(mid-c[i]);
     }
    if(t%m==0)
    {
        c[0]=0;
        ll ave=t/m;
        for (int i=2;i<=m;i++) c[i]=c[i-1]+r[i]-ave;
        sort(c+1,c+1+m);
        ll mid=c[(m+1)/2];
        for(int i=1;i<=m;i++) ans+=abs(mid-c[i]);
    }
}
int main()
{
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&t);
    int x,y;
    for (int i=1;i<=t;i++)
    {
        scanf("%d%d",&x,&y);
        l[x]++; r[y]++;
    }
    if (t%n==0&&t%m==0) printf("both ");
    else if (t%n==0) printf("row ");
    else if (t%m==0) printf("column ");
    else
    {
        printf("impossible\n");
        return 0;
    }
    does();
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}