高等数学，但用我的话说(求解微分问题)

目录

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使用定义求导

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求导的方法很多，在前面我们可以通过导数定义，也就是两个无限逼近的点，结合变化的 \(y\) 和 \(x\) ，就可以用定义求出函数对应的导数，也就是，我们最爱的简单粗暴的代入法。

但是，代入法在面对 \(n\) 次方这样的需要推广的处理。

设 \(f(x)=x^{n}\) ，求得其导数如下：

我们要怎么处理 \(\left(x+h\right)^{n}\) 呢？

将其展开的式子如下：

我们首先可以从这个式子提取 \(x\) 得到 \(x^{n}+含有h的项\)。

但是，不够啊，就算我们消除了 \(h\)，根据减号去掉了提取的 \(x^n\)，也不知道剩下的项是啥啊，那我们还要进一步想想怎么进行提取，比如，我们知道 \(h\to0\)，因此消去一个 \(h\) 后还剩下有 \(h\) 的项就会完蛋，那么我们只需要关注含有一个 \(h\) 的项了。

好的，那么怎么做到只提取一个 \(h\) 呢？

对于每一个 \((x+h)\)，我们可以选择提取 \(x\) 或者 \(h\)，我们总共有 \(n\) 种提取的选择，也就是说，我们最终可以提取出 \(nhx^{n-1}\)，那么剩下的部分，每间隔一项至少有两个 \(h\)，那么就可以提取出 \(h^{2}\times(其他)\) 的成分。

那么，我们就可以最终对原式化简得到下式：

很复杂不是吗？明明我们记公式就可以解决了，为什么要进行这些推导呢？

比方说，这里我们记一个 \(\frac{d}{\mathrm{d}x}\left(x^{a}\right)=ax^{a-1},a\in\mathbb{R}\) 就行了。

这个推导是要告诉我们，那些现成结论是来源于哪些部分，以及给我们最后一种选择，在公式等等便利的脚手架失去之后，我们还能自己现场制造一个，而不是呆坐着发愣。

有的东西，有但不用，和根本没有，是两码事。

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求导高效化

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用定义，是最直接，但也肯定不是最高效的求导方法。

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常数倍函数，函数和差

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常数倍函数，只需要单独提出来处理即可

函数和差，对每个部分单独处理即可。

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乘积法则求积函数的导数

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处理函数乘积时要复杂一些，例如对于下式：

我们可以使用乘积法则，

即，求得两个函数各自的导数后，进行交叉相乘。

另一个版本的乘积法则，如果 \(y=uv\) ，

如果有三个变量呢？即如果 \(y=uvw\) ，

如果有更多变量呢？我不能都硬记吧，简单，几个变量有几项，每个项中挑一个不重复的求导。

小口诀：几个变量几微分，每个微分不重样。

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商法则求商函数的导数

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商函数也有对应的处理法则，例如对于下式：

我们求得的就是：

如果 \(y=\frac{u}{v}\) 可以得到：

微分子减母，得差母平方。

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通过链式求导法则求复合函数的导数

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复合函数也有相应法则，例如对于下式：

直接理解起来复杂，那么我们就从套娃的角度理解。

首先面前是一个套娃，你知道套娃里面有一个套娃，那么你肯定要先打开这个包着套娃的套娃，才能再打开里面的套娃。

因此，对于复合函数的求导，就是一步步解套娃的过程，或者换另一个比喻，拆有多个包装的快递，你只能一层层去拆，一层处理一层的事情，又或者说剥洋葱，一层层去剥。

如果 \(y\) 是 \(u\) 的函数，且 \(u\) 是 \(x\) 的函数，那么：

同样的是一步步拆开，每一步只处理当层的事情。嘶，好像很像分治法。

总之，当遇到抽象的复杂函数时，要做的就是将这个复杂的函数一步步进行拆分，每一步处理每一步的事情，再顺着往下，直到最后的操作是原子化时，问题就得到解决了。

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为什么乘积法则和链式求导法则可以使用

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留个空，后面补。

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一些应用

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求切线方程

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求切线步骤：求斜率->求直线上任意一点->使用点斜式

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点斜式：

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速度和加速度

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速度：位置的一阶导数

加速度：位置的二阶导数，速度的一阶导数

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导数伪装的极限

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这通常并不容易，因为很多时候我们并不只是在处理一个导数，还是在计算一个特定点上导数。

因而，我们需要先解得一般情况的极限，再将特定点的值代入求得对应的极限值。

如果我们使用似乎是“万能”的洛毕达法则，我们是不需要去识别一个极限是否是一个伪装的导数的。

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分段函数的导数

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验证一个分段函数在分段连接点可否可导，需要检验分段在连接点上相等(证明连续性)，以及分段的导数在连接点上相等。

其实本质上就是证明可导，因为求可导的前提，需要极限存在且有限，也就是连续，可导是建立在连续基础上的。

所以步骤如下：

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1. 证明连续，左右极限值
2. 证明可导，左右导数值

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画出导函数的图像

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登山者，关注转折点。

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