高等数学，但用我的话说(连续与可导)

目录

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连续性

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在一点处连续

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什么是连续？我们先从点说起，连续就是画画不断笔，不断笔的前提：

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1. 双侧的极限存在，也就是你画这一点 \(x=a\) ，两边都可达(存在且有限，画到无穷去那能画完吗)；
2. 画的这一点，得在函数 \(f\) 的定义域内，并且 \(f(a)\) 存在且有限(画到无穷那咋画得出来)

3. \[ \lim_{x\to a}f\left(x\right)=f\left(a\right) \]

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综上，点可达，点能画，点限等。

不满足三个条件之一，则是不连续点。

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在一个区间上连续

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由点成线，现在我们看一个区间 \([a,b]\) 是否连续，也要根据点是否连续的定义来扩展：

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1. \(f\) 在 \((a,b)\) 的每一点都连续，先不提端点，中间的每个点肯定得是连起来的吧？

2. \(f\) 在 \(x=a\) 处右连续，即

   \[\lim_{x\to a^{+}}f\left(x\right)=f(a) \]

   并且均存在且有限。(总得能画出来吧)

   为什么要右连续，因为得保证 \(a\) 能画到右边。

   为什么不管左连续，因为我这一笔就从 \(a\) 点开始，往右边画，左边，不熟，不需要

3. \(f\) 在 \(x=b\) 处左连续，即

   \[\lim_{x\to b^{-}}f\left(x\right)=f\left(b\right) \]

   理由就不赘述了。

   为什么要左连续，因为要保证左边画过来能画到 \(b\) 点

   为什么不管右连续，因为我这一笔就在 \(b\) 点停下了，我需要再考虑往右边画吗？

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介值定理

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介值定理的意思就是，既然我们的函数连续，一个点在谷底，另一个点在山峰，那么中间肯定存在一个点是平原(即 \(0\))。

用数学公式描述如下：

常用于证明某个函数在某个情况下有解无解。

不过要注意是闭区间，因为对于存在却不可达的山峰和谷底没有意义。

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连续函数的最大值和最小值

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既然说连续，也就是一笔不断，那么肯定在绘制的区间 \([a,b]\) 内有一个峰值和一个谷值。

而这，就是最大值与最小值定理：

特殊的，我们这里要强调闭区间，理由是一样的，存在却不可达的山峰和谷底没有意义。

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可导性

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导数的来由

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导数是怎么产生的？一般而言，我们习惯从物体运动的角度来做引入，如平均速度，瞬时速度。

我觉得这类的理解已经成熟，不用赘述，直接跃迁到我们最爱的切线环节。

斜率，直线的斜率我觉得是都知晓的，上公式：

奇怪，为啥要两个点，两点确定一条直线啊，那你肯定要两个点才能画切线，求斜率吧。

如果说呢，我们把这两个点无限靠近，假设 \(h=u-t\)，那么斜率就可以表示如下：

前提是，极限得存在(也就是说，这个点得理论上可达)，不然画不出来。

进一步简化表达，这里的 \(h\) 是一个差对吧，它衡量的是 \(x\) 的变化，那么我们就可以用 \(\Delta x\) 来替换它，使得意义更加清晰，这里的 \(\Delta\) 表示 “在......中的变化”，就此原式可以改写如下：

但是，还有简化表达的空间，\(\Delta\) 的除了我们的 \(x\)，这不还有我们的 \(y\) 吗？

看，我们分子，不就是就是 \(\Delta{y}\)，新的 \(y\) 减去旧的 \(y\)。

那么我们的原式，还能简化如下：

既然说，我们研究的变化是微乎其微(\(\Delta{x}\to0\))的，那么我们研究的 \(y\) 和 \(x\)，它们的变化也是微乎其微的，我们就可以用 \(dx\) 和 \(dy\) 这样的表达，来表示微小变化的 $ x$ 和 \(y\)。进而得到下式：

因而，对于式子 \(y=f(x)\)，我们就可以用 \(\frac{dy}{dx}\) 来表示它的 \(f^{'}(x)\)

而 \(\frac{dy}{dx}\) 所表示的，就是 \(y\) 关于 \(x\) 的导数。

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总结一下：斜率+极限，推导出名为导数的存在。

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线型函数与常数函数的导数

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线性函数的导数是常数，常数函数的导数是 \(0\) ，线性的变化是一个固定值，常数则不变化，所以我们可以轻松地得到上述的结论。

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二阶函数和更高阶函数

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既然我们可以对一个函数求导，得到它的导数，那么我们是否可以更进一步，去对一个导数求导，得到导数的导数呢？

前面我们知道，导数反映的是对应的函数变化，比方说速度反映的是距离的变化，那么加速度反映的就是速度的变化，即导数的导数反映导数的变化，类似的套娃游戏还能不断地进行下去。

导数的导数，我们叫做二阶导，写作 \(f^{''}\)

对 \(f^{^{\prime}}(x)=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\) 求导，我们可以得到下式：

有人想问，对于三阶导数，四阶导数，甚至更高阶的导数，我们还要写这么多的 '​ 吗？

答案当然是不可能，我们可以用数字就表示了，形式如下：

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什么时候导数不存在

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前面我们知道，导数存在的前提是对应点的极限存在，极限分左右，这里导数也分左右。

左导数：

右导数：

左导数和右导数存在且值相等则实际导数存在且值等于导数值，同理，导数存在则左右导数存在且值等于导数值。

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可导性和连续性

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如果一个函数 \(f\) 在 \(x\) 上可导，那么它在 \(x\) 上连续。

因为可导的前提是极限存在，而对应极限存在则意味着连续(能画)。

但是反过来，则不行。为什么呢？

连续只保证了我们落笔停笔不断的问题，但是如果有尖点，使得某个点的左右极限值不等，那么就导不了了。

这也就是为什么说：可导一定连续，连续不一定可导。

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