高等数学，但用我的话来说(三角学二三事)

目录

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论弧度和度，三角函数

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弧度和度

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弧度(radian) 和度(degree) ，其实它们也是我们的老朋友了，譬如，我们将度，如 \({360}^{\degree}\) 根据下面的公式

可以转换为对应的弧度 \(2\pi\)。

为什么做这样的转换呢？对单位圆(半径为1)而言，其周长为 \(2\pi\)，即 \({360}^{\degree}\)，于是就有了这样的公式用于度和弧度的转换。

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三角函数

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前面我们在谈论关于角的事情，下面我们要讨论的是关于常见三角函数的事情。

首先请出我们的老朋友 \(\sin(x)=\frac{{对边}}{{斜边}}\) ，\(\cos(x)=\frac{{邻边}}{{斜边}}\) ，\(\tan(x)=\frac{{对边}}{{邻边}}\)，即正弦，余弦，正切。

有正就有反，下面请出的就是倒数函数 \(\csc(x)=\frac{{1}}{{\sin(x)}}\)，\(\sec(x)=\frac{{1}}{{\cos(x)}}\)，\(\cot(x)=\frac{{1}}{{\tan(x)}}\) ，即余割，正割，余切。

为了应试或者更好地在微积分的相关应用中使用三角函数，我们不得不熟记下表：

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不过个人实践经验表明，最有用的其实是脑子里想对应的三角形，现场算最容易。

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扩展三角函数定义域

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四象限

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首先，我们要讲四象限是什么：

一个容易让人感到困惑的是 \(\theta\) 角到底从什么开始算，答案是你参照 \(x\) 轴正半轴，逆时针走过的角度。也难怪为什么象限按着逆时针方向看，才是按顺序的。

我们常常要根据上方的表，去寻找我们的参考角，即表示角 \(\theta\) 的射线与 \(x\) 轴之间的最小的角，再通过奇偶函数的性质变化等方式，来得到角的弧度值。

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ASTC方法

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所谓的 ASTC 表示如下：

\(A\) 全正， \(S\) \(\sin\) 正弦正， \(T\) \(\tan\) 正切正，\(C\) \(cos\) 余弦正。

等等，让我们头疼的 \(\frac{\pi}{2}\)，\({\pi}\)，\(\frac{3\pi}{2}\)的相关变换呢？当初背自创口诀都背麻了。

别急，后面再看。

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\([0, 2\pi]\) 以外的三角函数，周期启动

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把我们的周期端上来吧(无悲喜)，也就是使用整周旋转，即 \(2\pi\)，逆时针也好，顺时针也好，都不会改变三角函数自身的值，周而复始，所谓周期就是这样。

对了，正切函数的周期是 \(\pi\)，连带着余切的周期也是 \(\pi\)

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三角函数的图像

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研究三角函数的图像，主要就看奇偶，看周期，看渐近线等信息。

没什么好记的，已经成肌肉记忆了。

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三角恒等式

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正余切串门记

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三角函数之间是有联系的，你看，左右就一个三角形，三条边三个角，三角函数左右都挨着，串个门，打个招呼，组个团，甚至换个身份，是再正常不过了。

正余弦是一家(毕达哥拉斯定理)，于是得到：

正切一看，我得串门啊，那简单，我姓正，优化掉姓余的 \(\cos^2\left(x\right)\) 就行了，反正是正余正切，正割余：

余切转念一想，我优化掉姓正的 \(\sin^2(2)\)，不也能上位，余割正：

三角函数的名字不是乱起的，命名的时候就藏着小心思，比如说 **** \(co\) 表示互余(complementary)，两个角互余表示它们的和是 \(\frac{\pi}{2}\)，比如，我们可以发现下面的规律：

因为互余，所以可以这样转换(再也不用像过去一样硬记了，哭)。

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角的和与倍角公式

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接下来就是小菜，角的和与倍角公式

切换正负号，那么另一边的式子也会切换正负号。

倍角如下：

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