快乐数学7数学常数e

7 数学常数e

亦称自然常数、自然底数，或是欧拉数（Euler's number），是无理数的数学常数，以瑞士数学家欧拉命名；还有个较少见的名字纳皮尔常数，用来纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔引进对数。它是一个无限不循环小数，数值约是（小数点后20位，https://oeis.org/A001113）：

7.1 e不仅仅是一个数字

将e描述为 "一个约为 2.71828 的常数. . . “就像把 pi (π)称为 "一个无理数，约等于 3.1415. . . “. 当然，这是事实，但你完全没抓住重点。

π是所有圆所共有的周长与直径之比。它是所有圆所固有的基本比，因此会影响圆、球、圆柱等的周长、面积、体积和表面积的计算。圆周率是很重要的，它表明所有圆都是相关的，更不用说由圆推导出的三角函数（sin、cos、tan）了。
e是所有持续增长过程共享的增长基数。通过 e，您可以从简单增长率（所有变化都发生在年底）中发现复合持续增长的影响，即每纳秒（或更快）都在增长一点点。

每当系统以指数形式持续增长时，就会出现复合增长率：人口、放射性衰变、利息计算等等。即使是不平滑增长的参差不齐的系统，也可以用 e 来近似。
就像每个数字都可以看作是 1（基本单位）的 “缩放 ”版，每个圆都可以看作是单位圆（半径 1）的 “缩放 ”版，每个增长率都可以看作是 e（“单位 ”增长率）的 “缩放 ”版。
因此，e 并不是一个晦涩难懂、看似随机的数字。e 所代表的理念是，所有持续增长的系统都是一个共同增长率的缩放版本。

7.2 理解指数增长

让我们先来看一个经过一定时间后会翻倍的基本系统。例如：

• 细菌可以分裂，每 24 小时 “翻一番”
• 我们把面条对折后，面条的数量是原来的两倍。
• 如果你能获得 100%的回报，你的钱每年都会翻一番（幸运！）。
  看起来是这样的：

一分为二或翻倍是一种非常普遍的现象。当然，我们也可以翻三倍或四倍，但翻倍更方便，所以请听我说。
从数学上讲，如果我们有 x 次拆分，那么我们得到的 “东西 ”就是开始时的 2 倍。拆分 1 次，我们就有 21 个，即 2 倍。拆分 4 次，我们得到 24 = 16 倍。一般公式是

换一种说法，加倍就是 100% 的增长。我们可以这样改写公式

增长 = (1+100%)x 这是个相同的公式，但我们把 “2 ”分成了真正的 “2”：原始值（1）加上 100%。很聪明吧？

当然，我们可以用 100%代替任何数字（50%、25%、200%），然后得到新比率的增长公式。因此，x 期收益的一般公式是

增长 = (1+retur n)x 这意味着我们乘以回报率（1 + 回报率）x 倍。

7.3 仔细观察

我们的公式假定生长以离散的步骤进行。我们的细菌在等待，等待，然后 “嘣 ”的一声，它们在最后一刻翻了一番。我们的利息收入会在 1 年后神奇地出现。根据上述公式，增长是瞬间发生的。绿点突然出现。
世界并不总是这样。如果我们把视角放大，就会发现我们的细菌朋友会随着时间的推移而分裂：

绿先生并不是突然出现的，而是慢慢从蓝先生中生长出来的。经过 1 个单位的时间（在我们的例子中是 24 小时），绿先生就完成了分裂。然后，他成为一个成熟的蓝色细胞，并可以自己创造新的绿色细胞。
这些信息会改变我们的方程式吗？
不会。在细菌的例子中，半成型的绿色细胞在完全长成并与它们的蓝色父母分离之前，仍然不能做任何事情。等式仍然成立。

7.4 利率

但金钱不同。只要我们赚取一分钱的利息，这一分钱就可以开始赚取自己的微利。我们不需要等到赚取一美元的利息--新钱不需要成熟。
根据我们以前的公式，利息增长看起来是这样的：

但这又不完全正确：所有的利息都出现在最后一天。让我们把时间拉长，把一年分成两段。我们每年赚取 100%的利息，或者每 6 个月赚取 50%的利息。因此，我们前 6 个月赚 50 美分，后半年再赚 50 美分：

但这仍然是不对的！当然，我们最初的 1 美元（蓝先生）在一年中赚了 1 美元。但在 6 个月后，我们还有一块 50 美分的硬币可以使用，而我们却忽略了它！这 50 美分本可以自己赚钱：

因为我们的费率是每半年 50%，所以这 50 美分可以赚 25 美分（50% 乘以 50 美分）。1 年后，我们将拥有 - 我们原来的 1 美元（蓝先生）

• 蓝先生赚到的 1 美元（绿先生）
• 绿先生赚的 25 美分（红先生）
  共计 2.25 美元。我们从最初的一美元中获得了 1.25 美元，比翻倍还要好！
  让我们把收益转化成一个公式。两个半期 50%的增长率为

参考资料

• 软件测试精品书籍文档下载持续更新 https://github.com/china-testing/python-testing-examples 请点赞，谢谢！
• 本文涉及的python测试开发库 谢谢点赞！ https://github.com/china-testing/python_cn_resouce
• python精品书籍下载 https://github.com/china-testing/python_cn_resouce/blob/main/python_good_books.md
• Linux精品书籍下载 https://www.cnblogs.com/testing-/p/17438558.html

7.5 深入了解复合增长

现在是时候更进一步了。与其把增长分成两个增长 50% 的阶段，不如把它分成三个增长 33% 的阶段。谁说我们必须等到 6 个月后才能开始获得利息？让我们的计算更加精细。
将 3 个复利周期的增长绘制成图，会发现一幅有趣的画面：

把每种颜色想象成把钱 “铲 ”向其他颜色（它的孩子），每期 33%：

• 第 0 个月：开始时，蓝先生的存款为 1 美元。
• 第 4 个月：蓝先生自己赚到了 1/3 美元，并创造了绿先生。绿先生，一共赚了 33 美分。
• 第 8 个月：蓝先生又赚了 33 美分，并把它给了绿先生，使绿先生的收入增加到 66 美分。绿先生实际上赚取了绿先生实际上赚到了之前价值的 33%，创造了 11 美分（33% × 33 美分）。这 11 美分就变成了红先生。
• 第 12 个月：事情变得有点疯狂。蓝先生又赚了 33 美分，并把它转给了绿先生，让绿先生赚了整整 1 美元。绿先生从第 8 个月的价值（66 美分）中获得 33% 的回报，赚了 22 美分。这 22 美分又加给了红先生，红先生现在总共赚了 33 美分。而最初只有 11 美分的 “红先生 ”自己赚了 4 美分（33% × .11），从而创造了 “紫先生”。

呼！12 个月后的最终价值是 1 + 1 + .33 + .04 或约 2.37。
花点时间来真正理解这种增长是怎么回事：

• 每种颜色都会为自己赚取利息，然后 “转手 ”给另一种颜色。新产生的钱可以自己赚钱，如此循环往复。
• 我喜欢把最初的金额（蓝先生）想象成永不改变的。因为蓝先生不会改变，所以每 4 个月就会有稳定的 33 个 “绿先生”。在图中，蓝先生有一个蓝色箭头，表示他如何喂养绿先生。
• 绿先生恰好创造并养活了红先生（绿色箭头），但蓝先生并不知道这一点。
• 随着时间的推移，绿先生不断成长（蓝先生不断喂养他），他对红先生的贡献也越来越大。第 4 到 8 个月，绿先生给红先生 11 美分。如果我们把图表扩大，绿先生会给红先生 33 美分，因为绿先生在第 12 个月达到了一美元。
  绿先生在第 12 个月达到了整美元。
  明白了吗？一开始很难理解--我甚至在把图表放在一起时把自己弄糊涂了。但请看，每 “一美元 ”都会产生小帮手，小帮手又会产生小帮手，以此类推。
  我们在增长等式中使用 3 个周期，就得到了一个公式：

我们赚了 1.37 美元，比上次的 1.25 美元还要好！

7.6 我们能得到无限的钱吗？

为什么不以更短的时间段来计算呢？每个月、每一天、每一小时，甚至每纳秒，怎么样？我们的收益会暴涨吗？
我们的收益会越来越好，但仅限于一点。试着在我们的神奇公式中使用不同的 n 数，看看我们的总回报：

数字越来越大，在 2.718 附近汇聚。嘿. . . 等等 . . 这看起来像 e！
哇塞 用极客数学术语来说，e 的定义是，如果我们在越来越小的时间段内不断复利计算 100%的回报率，增长率就是 e：

这个极限似乎是收敛的，也有相关的证明。但正如你所看到的，当我们把时间段拉得更细时，总回报率会保持在 2.718 左右。

7.7 这意味着什么？

数字 e（2.718......）代表在一个时间段内以 100% 的速度增长的过程中的最大复合增长率。当然，你一开始期望的是从 1 增长到 2，但每向前迈出一小步，你就会创造出一点 “红利”，并开始自行增长。最后，在一个时间段结束时，你会得到 e（2.718......），而不是 2。

因此，如果我们以 1 美元为起点，以 100%的回报率连续复利计算，就会得到 1e。如果从 2 美元开始，我们得到 2e。如果从 11.79 美元开始，我们得到 11.79e。
e 就像一个速度极限（就像光速 c），表示在连续复利的过程中，你能以多快的速度增长。

7.8 不同的比率如何？

问得好。如果我们的年增长率是 50%，而不是 100% 呢？我们还能用 e 吗？
让我们来看看。50%的复合增长率是这样的

我们该怎么办呢？想象一下，我们把它分成 50 块，每块增长 1%：

当然，这不是无穷大，但也相当细化了。现在想象一下，我们把 100%的 “常规 ”增长率也分解成 1%的增长：

啊，这里出现了一些东西。在我们的常规案例中，我们有 100 个累积变化，每个变化率为 1%。
在常规情况下，我们有 100 个累计变化，每个变化率为 1%。在 50%的情况下，我们有 50 个累积变化，每个变化率为 1%。

这两个数字之间有什么区别呢？嗯，只是变化次数的一半：

这很有趣。50 / 100 = .5，也就是我们把 e 提高到的指数。这在一般情况下也行得通：如果我们的增长率是 300%，我们可以把它分成 300 块，每块增长 1%。这将是净增长率 e3 的正常值的三倍。
尽管增长看起来像加法（+1%），但我们需要记住它实际上是乘法（x 1.01）。这就是我们使用指数（重复乘法）和平方根（e 1 变化，即乘法次数的一半）的原因。虽然我们选择了 1%，但我们可以选择任何小的增长单位（.1%、.0001%，甚至无限小的数量！）。关键是，对于我们选择的任何增长率，它都只是 e 的一个新指数：

7.9 不同时期的情况如何？

假设我们两年的增长率都是 300%。我们将一年的增长率（e3）乘以它本身的两倍：

而在一般情况下：

由于指数的魔力，我们可以避免使用两个幂，而只需将速率和时间乘以一个指数即可。

7.10 大秘密：e 将速率和时间合二为一

这真是太神奇了！e^x 有两种含义：

• x是我们乘以增长率的次数： 3 年增长 100%是 e^3
• x 是增长率本身： 一年增长 300% 是 e^3。
  这种重叠会不会混淆视听？我们的公式会不会崩溃，世界会不会毁灭？
  一切都会解决的。当我们写
  

变量 x 是速率和时间的组合。

在处理复合增长时，10 年 3% 的增长与 1 年 30% 的增长（之后不再增长）的总体影响是一样的。

• 10 年 3%的增长意味着 30 次 1%的变化。这些变化发生在 10 年中，因此您每年以 3% 的速度持续增长。
• 1 个 30% 的增长期意味着 30 次 1%的变化，但只发生在一年内。因此，你每年增长 30%，然后停止。
  每种情况下都会发生同样的 “30 次 1%的变化”。增长速度越快（30%），为达到相同效果（1 年）所需的时间就越短。速度越慢（3%），需要的增长时间就越长（10 年）。
  但在这两种情况下，增长最终都是 e^.30 = 1.35。我们没有耐心，更喜欢大而快的增长，而不是慢而长的增长，但 e 表明它们具有相同的净效应。
  因此，我们的一般公式变为
  
  如果我们在 t 个时间段内的回报率为 r，那么我们的净复合增长就是 e^rt。
  顺便说一下，这甚至适用于负收益和分数收益。

7.11 示例

举例让一切更有趣。小提示：我们太习惯于 2x 和常规复利这样的公式了，所以很容易混淆（包括我自己）。稍后我们将介绍单利、复利和连续增长。
这些例子的重点是平稳、持续的增长，而不是以年为间隔的 “跳跃式 ”增长。有一些方法可以在它们之间进行转换，这在利息一章中会有所介绍。

例 1：晶体生长 假设我有 300 千克魔法晶体。它们之所以神奇，是因为它们会在一天中不断生长：在 24 小时内，单个晶体会顺利脱落自身重量的晶体。它制造的小晶体立即开始生长，但我无法追踪，我只能观察原晶体的脱落量。10 天后，我将拥有多少晶体？
首先，这是一个棘手的例子：我们的输入率是每 24 小时生长 100%，我们想知道 10 天后的复合输出率。输入率是单个晶体所知道的（“我需要在 24 小时内生成自己的重量”），而复合输出率是实际发生的（“你生成的那些晶体？ 它们开始自己生长了”）。
e 是神奇的转换系数： 我们的产出率是每 24 小时 100%，所以 10 天后我们得到的结果是 300e^110 = 660 万公斤的魔法宝石。

在大多数情况下，我们不知道现象的内部速率，而首先要观察最终的复合产出率 （e100%，即在 24 小时内看到 1 个晶体生长到 2.718 个）。利用自然对数，我们可以推算出初始速率为 100%。

例题 2：最高利率 假设我有 120 美元的存款，利息为 5%。我的银行很慷慨，给了我最大可能的复利。10 年后我会有多少钱？
我们的利率是 5%，我们很幸运地连续复利计算。10 年后，我们可以得到 120 美元e.0510=197.85 美元。当然，大多数银行都不会给你最好的利率。你的实际收益和连续收益之间的差别就是他们不喜欢你的程度。

例 3： 放射性衰变 我有 10 千克放射性物质，它似乎以每年 100%的速度持续衰变（也就是说，在年初，它似乎以每年 10 千克的速度缩小）。3 年后我还有多少？

是的，我们一开始的体重是 10 千克，预计到年底会 “全部减掉”，因为我们的初始速度是每年衰减 10 千克。
但是，让我猜猜看：几个月后，我们的体重是 5 千克。既然我们每年减掉 10 千克，那么还剩下多少时间：半年？
不对！现在我们的体重是 5 千克，每年只减少 5 千克，所以从现在开始，我们还有整整一年的时间！
我们再等几个月，缩减到 2 公斤。明白了吧 我们现在的速度是每年减少 2 千克，所以从这一刻起我们还有一年的时间。我们减到 1 千克，有一整年的时间，减到 0.5 千克，又有一整年的时间--看到这个规律了吗？
随着时间的推移，我们的物质在不断流失，但我们的衰减速度却在减慢。这种不断减缓的衰减与不断的复合增长正好相反。

3 年后，我们将拥有 10e-13 = 0.498 千克。我们使用负指数来表示衰减，这可以看作是

• 反向增长（缩小）。负指数为我们提供了一个缩减分数（1/e^{rt）和一个增长倍数（e}rt）。
• 反向时间。负指数就像时间倒流；在498 增长到 10（正向时间），而是从 10 开始，倒退到 0.498。
  负指数增长只是变化的另一种方式：你缩小了，而不是增长了。
  更多例子 如果你想要更复杂的例子，可以试试布莱克-斯科尔斯期权公式（注意 e 用于价值的指数衰减）或放射性衰减。我们的目标是看到公式中的 e^rt，并理解为什么会出现它：它在模拟增长或衰变。
  现在你知道为什么是 e，而不是 π 或其他数字了：将 e 提升到 “r * t”，就得到了速率 r 和时间 t 对增长的影响。

7.12 要学的还有很多！

我的目标是

• 解释 e 为何重要：它是一个基本常数，就像圆周率一样，在增长率中显示出来。
• 给出一个直观的解释：e 可以让你看到任何增长率的影响。每一个新 “部件”（绿先生、红先生等）都有助于增加总增长。
• 展示如何使用：er t 让你预测任何增长率和时间段的影响。
• 让你欲罢不能： 在接下来的章节中，我们将深入研究 e 的其他属性。
  这仅仅是个开始--把所有东西都塞进一章里会让我们都很累。休息一下，了解一下 e 的邪恶孪生兄弟--自然对数吧。