微积分快速入门3部分：基础

6 改进算术和代数

我们已经直观地看到微积分是如何以循序渐进的观点剖析问题的。现在，我们有了正式的符号，让我们来看看如何将算术和代数提高到一个新的水平。

6.1 更好的乘法和除法

乘法让加法更简单。我们可以把它改写成： 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2，而不是像 2 + 2 + 2 + 2 + 2 这样的题目： 2
x 13.

乘法使重复加法变得更容易。但是有一个很大的限制：我们必须使用相同的、平均大小的棋子。现实世界并非如此顺利。微积分能让我们根据实际而非平均值来累积或分离图形：

• 导数是一种更好的除法，它能将图形沿路径分割（可能分割成不同大小的切片）

• 积分是一种更好的乘法，它可以累积一连串的步骤（可能是不同大小的步骤）

• 除法

${\displaystyle \frac{y}{x}}$

将整体分割成相同的部分

• 微分

${\displaystyle \frac{d}{dx}}y$

将整体分割成（可能不同的）部分

• 乘法
  x * y
  累积相同的步骤

• 积分

$\int ydx$

累积（可能不同的）步骤

让我们再次分析圆环到圆环的例子。算术/代数与微积分相比如何？

6.2 更好的公式

如果微积分提供了更好、更具体的乘除法，难道我们不应该用它来重写公式吗？当然可以。

6.3 更好的代数

代数让我们从一个事实出发，系统地推导出其他事实。想象一下，我想知道一个未知正方形的面积。我无法测量面积，但我无意中听到有人说它的边长是 13.3 英寸。

微积分在代数的基础上又增加了两种运算：积分和导数。现在，我们可以用代数的方法计算圆的面积了：

6.4 学习规则

通过算术，我们学会了组合整数、小数、分数和根式/幂的特殊技巧。尽管 3 + 9 = 12 ，我们也不能假定

$\sqrt{3}+\sqrt{9}=\sqrt{12}$

同样，我们需要学习整数/余数在相加、相乘等情况下的运算规则。是的，还有一些特殊类别的花哨规则（如何处理前值、自然对数、正弦、余弦等），但我并不关心这些。让我们先从最基本的开始。

参考资料

• 软件测试精品书籍文档下载持续更新 https://github.com/china-testing/python-testing-examples 请点赞，谢谢！
• 本文涉及的python测试开发库 谢谢点赞！ https://github.com/china-testing/python_cn_resouce
• python精品书籍下载 https://github.com/china-testing/python_cn_resouce/blob/main/python_good_books.md
• Linux精品书籍下载 https://www.cnblogs.com/testing-/p/17438558.html

7 了解直线的工作原理

让我们先来分析一个相当简单的模式--直线：

$$f(x)=4x$$

7.1 求直线的导数

$\frac{d}{dx}f(x)$

每增加一英尺围栏，成本就会增加 4 美元。

$$\frac{df}{dx}=\frac{4\cdot dx}{dx}=4$$

7.2 求常数的积分

现在让我们从另一个方向着手：给定步骤序列，我们能否找到原始图案的大小？

$$\frac{df}{dx}=4$$

定积分跟踪设定数量切片的累积。不定积分找到的是创建阶梯模式的实际公式，而不仅仅是该范围内的累积。

7.3 秘密：我们可以逆向思维

积分的小秘密在于我们不需要直接求解积分。我们不必试图把切片粘在一起求面积，而只需学会识别我们已经见过的函数的导数。

如果我们知道 4x 的导数是 4，那么如果有人问 4 的积分，我们就可以回答 “4x”（当然还要加上 C）。

7.4 更好地进行乘法运算

将大小相等的阶数粘在一起看起来就像普通的乘法运算，对吗？没错。如果我们想要 3 个大小为 2 的阶乘（0 到 1，1 到 2，2 到 3），我们可以这样写：

$${\int }_0^{3}2dx=6$$

7.5 创建抽象规则

知道线性函数是如何运行的吗？好极了。我们可以制定一些抽象规则--就像为自己制定代数规则一样。

• 函数

$f(x)=ax$

• 导数

$$\frac{d}{dx}a\cdot x=a$$

• 积分

$$\int a=ax+C$$

也就是说，每一步输出与每一步输入的比率是一个常数

8 玩转正方形

我们已经了解了直线的特性：每一步的变化量都相同。现在让我们试试更复杂的函数，比如

$f(x)=x^2$

想象一下，你正在建造一个方形花园，准备在几个月后种植蔬菜和黄瓜。你不知道该把它做多大。太小，食物不够；太大，又会引起蔬菜黑手党的注意。

你的计划是逐步建造花园，一尺一尺地建造，直到看起来合适为止。比方说，你从零开始，建一个 10*10 的地块：

8.1 开始计算

周长为4x

$$\frac{d}{dx}\mathit{\text{Perimeter}}=4$$

8.2 面积

现在，面积是如何变化的呢？由于正方形比较新颖，让我们用 X 光来观察形状的变化：

https://betterexplained.com/wp-content/uploads/calculus/course/lesson5/square_xray
我们可以像这样写出每次跳跃的大小：

跳转到下一个正方形

同样，可视化的效果很好，但需要付出努力。代数可以简化这一过程。

$$\begin{array}{rcl}df& =& f(x+1)-f(x)\\ & =& (x+1{)}^2-x^2\\ & =& (x^2+2x+1)-x^2\\ & =& 2x+1\end{array}$$

8.3 总结

$$\begin{array}{rcl}\frac{d}{dx}{x}^2& =& \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx}\\ & =& \frac{(x+dx{)}^2-(x{)}^2}{dx}\\ & =& \frac{x^2+2x\cdot dx+(dx{)}^2-x^2}{dx}\\ & =& \frac{2x\cdot dx+(dx{)}^2}{dx}\\ & =& 2x+dx\end{array}$$