游戏中的2d数学-两条直线之间的交点

原文参考

http://www-cs.ccny.cuny.edu/~wolberg/capstone/intersection/Intersection point of two lines.html

有两条直线，p1（x1,y1）和p2（x2,y2）构成直线A，p3（x3,y3）和p4（x4,y4）构成直线B

那么我们可以用参数方程描述这2条直线：

$Pa = P_1 + u_a ( P_2 - P_1 )$
$Pb = P_3 + u_b ( P_4 - P_3 )$

当2条直线相交，Pa=Pb，我们可以得到下面2个关于$u_a$和$u_b$的方程:

$x_1 + u_a (x_2 - x_1) = x_3 + u_b (x_4 - x_3)$
$y_1 + u_a (y_2 - y_1) = y_3 + u_b (y_4 - y_3)$

解方程得到$u_a$和$u_b$:

$u_a=\frac{(x_4-x_3)(y_1-y_3)-(y_4-y_3)(x_1-x_3)} {(y_4-y_3)(x_2-x_1)-(x_4-x_3)(y_2-y_1)}$

$u_b=\frac{(x_2-x_1)(y_1-y_3)-(y_2-y_1)(x_1-x_3)} {(y_4-y_3)(x_2-x_1)-(x_4-x_3)(y_2-y_1)}$

将结果回代到对应的原式中得到交点：

$x = x_1 + u_a (x_2 - x_1)$
$y = y_1 + u_a (y_2 - y_1)$

注：

• ua和ub的分母相同
• 当分母是0时，2条直线平行
• 当ua和ub的分子和分母同时为0时，2条直线重合
• 本公式是关于直线的，如果需要对线段进行相交判断的话，仅需要继续检查ua和ub是否在0-1之间即可。只要ua和ub其中一个在0-1范围之间，那么对应的线段包含交点。如果ua和ub都在0-1之间，那么交点同时在2条线段之内。