[ZJOI2011]看电影(组合数学,高精度)

[ZJOI2011]看电影

这题模型转化很巧妙.(神仙题)

对于这种题首先肯定知道答案就是合法方案除以总方案.

总方案显然是\(k^n\).

那么考虑怎么算合法方案.

当\(n>k\)的时候显然答案为0.

否则,我们不妨虚构出来一个从最后一个座位到第一个座位传送门,如果一个人他走到最后一个座位还没有空位置的话,他本来应该要是站着的,但是现在有了传送门,他就可以走到第一个座位,再一路走看看有没有空座位,找个位置坐下,由于这样构成了一个环,座位的个数一定是够坐的.这样每个人都有座位了.

我们现在要求的就是没有人穿过传送门的方案总数.考虑上面这样处理不好算.不妨再虚构一个座位,它的编号为\(k+1\),现在如果有人走到n没有座位,就会先坐在\(n+1\),那么一个不合法方案当且仅当\(k+1\)位置被人坐了,一个合法方案当且仅当\(k+1\)位置没有人坐.

这样的圆排列一共有\(\frac{(k+1)^n}{k+1}=(k+1)^{n-1}\)(n个人,每个人可以选择\(k+1\)个座位中的一个坐下,有人就按照规则往后坐就可以了,反正可以坐下),只有\(k-n+1\)个位置是空的,我们可以选择从这些位置断环成链,并把这些位置当做\(k+1\)号座位.

于是答案就是

\[\frac{(k+1)^{n-1}(k-n+1)}{k^n} \]

数据范围这么小是因为要高精...

处理gcd的时候注意\(k+1\)和\(k\)是没有公因子的,只要考虑\(k-n+1\)和\(k^n\)的gcd.

只要高精乘法,快速幂一下就可以了.

#include<bits/stdc++.h>
#define maxn 505
#define ll long long
using namespace std;
struct num
{
	int a[5005],len;
	void init(ll x)
		{
			memset(a,0,sizeof(a));len=0;
			while(x)a[++len]=x%10,x/=10;
		}
	num operator * (num x)
		{
			num res;res.init(0);
			for(int i=1;i<=len;i++)
			{
				int carry=0;
				for(int j=1,t;j<=x.len;j++)
				{
					t=res.a[i+j-1];
					res.a[i+j-1]=(a[i]*x.a[j]+carry+res.a[i+j-1])%10;
					carry=(a[i]*x.a[j]+carry+t)/10;
				}
				res.a[i+x.len]=carry;
			}
			res.len=len+x.len;
			while(res.len>0&&!res.a[res.len])res.len--;
			return res;
		}
	void print(){for(int i=len;i>=1;i--)printf("%d",a[i]);printf(" ");}
}ans,K,N;
ll gcd(ll a,ll b){if(b==0)return a;return gcd(b,a%b);}
num ksm(num A,int k)
{
	num res;res.init(1);
	while(k)
	{
		if(k&1)res=res*A;
		A=A*A;k>>=1;
	}
	return res;
}
int main()
{
	int T;cin>>T;
	while(T--)
	{
		int n,k,m;ll g=1,t;scanf("%d%d",&n,&k);m=n;t=1;
		if(n>k){printf("0 1\n");continue;}
		while(m>0&&g<gcd(t*k,k-n+1)&&t*k>0)g=gcd(k-n+1,t*k),m--,t=t*k;
		N.init((k-n+1)/g);K.init(k+1);ans=ksm(K,n-1);ans=ans*N;ans.print();
		K.init(k);N.init(t/g);ans=ksm(K,m);ans=ans*N;ans.print();printf("\n");
	}
	return 0;
	}