常用莫比乌斯反演公式

1. $$[f(n)=1]=\sum_{d\mid n}\mu(d)$$
证明

$$\begin{align} \sum_{d\mid n}\mu(d) =& \mu(1)+\mu(p_1)+\mu(p_2)+\cdots+\mu(p_k)+\mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k) \\ =& \binom{k}{0}+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+\cdots+\binom{k}{k}(-1)^k \\ =&(1-1)^k=0 \end{align}$$

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2. $$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=x]\\=\sum_{d=1}^{min(\lfloor\frac{n}{x}\rfloor,\lfloor\frac{m}{x}\rfloor)}\lfloor\frac n{dx}\rfloor\lfloor\frac m{dx}\rfloor$$

证明:
先提x出来$$\sum_{i=1}^{{n/x}\sum_{j=1}}[gcd(i,j)=1]$$
用结论1来表示中括号里的东西:

$$\sum_{i=1}^{n/x}\sum_{j=1}^{m/x}\sum_{d\mid gcd(i,j)}\mu(d)$$

发现把d提到前面,d是gcd(i,j)的约数,所以一共有$\lfloor\frac n{id}\rfloor*\lfloor\frac m{id}\rfloor$对i,j它们的gcd被d整除的条件所以改为枚举d

$$\sum_{d=1}^n\lfloor\frac n{id}\rfloor*\lfloor\frac m{id}\rfloor$$

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$$\sigma=id*e$$

$$\varphi=id*\mu$$

$$\mu*u=e$$

$$id=\varphi*u$$

其中$\sigma$是约数个数,id是映射到自己的函数,u是把所有数映射到1的函数,e是单位元函数,$\varphi$是欧拉函数,$\mu$是莫比乌斯函数.
对于第一个式子,直接把右边卷积算就是显然了.
对于第二个式子就是把右边卷积然后,右边看成一个容斥的式子就好了.
对于第三个式子,就是说明$\mu$是单位元函数在卷积意义下的逆元.
对于最后一个式子,两边同乘一个单位元,然后右边的单位元和$\mu$抵掉,就变成这个形式了.

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$$if(T=dt)$$

$$\sum_{d=1}^n\sum_{t=1}^{\lfloor\frac nd\rfloor}\iff\sum_{T=1}^n\sum_{d\mid T}$$