狄利克雷卷积&莫比乌斯反演证明

狄利克雷卷积简介

卷积这名字听起来挺学究的，今天学了之后发现其实挺朴实hhh。

卷积：

“（n）”表示到n的一个范围。
设\(f,g\)是两个数论函数（也就是说，以自然数集为定义域的复数值函数），则卷积运算\(f\ast g\)定义为

\[(f\ast g)(n) = \sum_{ij=n}{f(i)g(j)} \]

另一种写法就是：

\[(f\ast g)(n) = \sum_{d\mid n}{f(d)g(\frac{n}{d})} \]

这里给一段数论函数的定义：

数论函数亦称算术函数，一类重要的函数，指定义在正整数集上的实值或复值函数，更一般地，也可把数论函数看做是某一整数集上定义的函数。

一些数论函数

首先最简单的就是常数函数，直接映射到一个正整数，比如\(f(x)=1,f(x)=2\)这样的。
再有就是一些整数域数列的通项公式函数，例如\(f(x)=x\)这样的。
还有就是\(\phi(x)\)欧拉函数，表示因数个数。
另外就是元函数e，写成表达式就是\(e(x)=[x=1]\).
还有特殊的常数函数,把所有的数字映射成1的\(u(x)=1\)
莫比乌斯函数：通常，莫比乌斯函数\(\mu\)定义为
\(\mu(1)=1；\)
\(\mu(n)=(-1)^k\)如果n能写成k个不同素数之积；
\(\mu(n)=0\)，其他情况。

以下参考如何证明莫比乌斯反演？by Syu Gau

一些简单性质

交换律

根据$$(f\ast g)(n) = \sum_{ij=n}{f(i)g(j)}$$
这个定义，结论是显然的了。

结合律

只要证明\((f*g)*h=f*(g*h)\)就可以了。
于是左边就是

\[\begin{align} ((f\ast g)\ast h)(n) &= \sum_{lk=n}(f\ast g)(l)h(k) \\ &= \sum_{lk=n}\left(\sum_{ij=l}f(i)g(j)\right)h(k)\\ &= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) \end{align} \]

右边是

\[\begin{align} (f\ast (g\ast h))(n) &= \sum_{il=n}f(i)(g\ast h)(l) \\ &= \sum_{il=n}f(i)\left(\sum_{jk=l}g(j)h(k)\right)\\ &= \sum_{ijk=n} f(i)g(j)h(k) \end{align} \]

得证。

加法的结合律

看不懂网上的证明，简单贴一下。

存在单位元\(\iota\) 使得\(\iota\ast f=f\)
我们需要

\[(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\iota(i)f(j)=f(n) \]

故不难猜到\(\iota\) 应该定义为\(\iota(n)=\) \begin{cases} 1&n=1\ 0&n\neq1 \end{cases}
事实上，直接验证可得

\[(\iota\ast f)(n)=\sum_{ij=n}\delta_{i,1}f(j)=f(n) \]

以上说明数论函数在卷积意义下构成一个交换群。

卷积差不多就这些。。。

莫比乌斯反演证明

\(\mu\)函数的性质

为什么要发明这个函数呢，肯定是有道理的。
我们一般把\(\mu\)看做是\(u(x)=1\)在卷积意义下的逆元。就是说它满足：

\[\mu\ast u=e \]

1就是函数f(n)=1。展开来写就是

\[\sum_{d\mid n}\mu(d)*1 \]

当 \(n=1\)时，显然成立。
当 \(n>1\)时，根据唯一分解定理我们可以把n拆成\(n=p^{k_1}_1*p^{k_2}_2*\cdots*p^{k_n}_n\)
当 \(\exists k_x=1\)时，\(\mu\)值肯定为0,所以我们把\(k_x\)都看作1。
而d枚举的就是n的因子，其实就是在n的质因子集合里取走任意个。所以这个式子可以写成这个样子：

\[\begin{align} \sum_{d\mid n}\mu(d) =& \mu(1)+\mu(p_1)+\mu(p_2)+\cdots+\mu(p_k)+\mu(p_1p_2)+\cdots+\mu(p_1p_2\cdots p_k) \\ =& \binom{k}{0}+\binom{k}{1}(-1)+\binom{k}{2}(-1)^2+\cdots+\binom{k}{k}(-1)^k \\ =&(1-1)^k=0 \end{align} \]

那么$$\sum_{d\mid n}\mu(d)=1$$就得证了。

反演形式1证明

法1

莫比乌斯反演形式1就是，如果\(f(n)=\sum_{d\mid n}g(d)\)，则\(g(n)=\sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)f(d)\)
写成卷积的形式就是，如果\(f=g*e\)，则\(g=f*\mu\)。
这样写就比原来哪样要好记而且简介多了。
有了之前的铺垫，接下来就很容易了。
把原方程两边乘一个\(\mu\)

\[f*\mu=g*e*\mu \]

\[f*\mu=g*(e*\mu) \]

由于之前有证明\(\mu*e=1\)所以就有\(f*\mu=g\)于是得证。
感觉这种方法非常巧妙啊。。

法2

听知乎上大佬讲的，莫比乌斯反演其实就是偏序集上的容斥，简单理解了一下大概是这样的。
我们知道容斥定理的公式是

\[g(S)=\sum_{V\subset S}f(V)\implies f(S)=\sum_{V\subset S}(-1)^{\mid S\mid-\mid V\mid}*g(V) \]

用叉姐的话将就是：n 个坏事都不发生的概率,可以通过 2 n 个同时发生的概率计算，定义一个由数映射到它质因子集合的映射，映射关系显然是整除，V看做是S的质因子但不是V的质因子的乘积，那么莫比乌斯反演定理就和容斥的式子长得一模一样了。\(\mu\)就是\((-1)^{\mid S\mid-\mid V\mid}\)

反演形式2证明

以后再填坑。。感觉效率好低QAQ

\(\phi\)和μ的关系

有一个经典公式就是：

\[\sum_{d\mid n}\phi(d)=n \]

这个公式怎么证明呢？
我们可以把它简记为

\[\phi*e=id \]

然后两边乘一个\(\mu\)

\[\phi*(\mu*e)=id*\mu \]

\[\phi=id*\mu \]

再化回来

\[\phi(n)=\sum_{d\mid n}\mu(d)*\lfloor\frac{n}{d}\rfloor \]

μ只有在d质因数分解之后各个质因子个数为1的时候才有贡献，为奇数个因子的时候-，偶数为+，这不就是一个容斥求因子个数么。。于是左边等于右边，得证