逆元

逆元素是指一个可以取消另一给定元素运算的元素，在数学里，逆元素广义化了加法中的加法逆元和乘法中的倒数。

在要取模大整数的除法中，我们常常会遇到这样一个问题：

\(6\mod 5=1\)

$ 3\mod 5=3$

但\((6\div 3 )\mod5=2\)

\((1\div3)\mod5=???\)

由此可见除法取模运算不能再套用和的模的等于膜的和的模，或是积的模等于模的积的模来算了。
我们知道在除以一个数就是乘以它的倒数，倒数是数学广义定义的逆元，如果我们要对要两个作商的数取模，我们是不是也可以找一个不是分数而和倒数具有相同作用的数呢？这样我们就可以用之前积的模等于模的积的模这个结论算出答案。

exgcd

我们首先把这个问题用数学方法表示出来

\[x\equiv a^{-1}(mod p) \]

其中\(a^{-1}\)是逆元，而我们只要找到一个最小的正整数x，就可以得到逆元了。
补充一个知识：
在同余方程里，满足：如果\(gcd(a,p)=1\)则 \(x\equiv ay(mod p)\)等价于\(ax\equiv ay(mod p)\)
把之前的式子化一下就可以得到：

\[ax\equiv 1(mod p) \]

现在就变成了一个解同余方程的问题了。
考虑把右边写成写成\(-kp+1\)的形式，把k和p的名字换成y和b，那么可以转化问题为求不定方程$$ax+by=1$$的解。
我们知道如果a，b互质那么\(gcd(a,b)=gcd(b,a\% b)=1\)。设\(a_1=b,b_1=a\%b,\)那么同样对于这一组\(a_1,b_1\)也可以求解他们对应的\(x_1,y_1\),接下来找\(x_1,y_1\)和\(x,y\)之间的联系。
仿照上面的形式。可以很容易地写出方程。

\[a_1x_1+b_1y_1=1 \]

即$$bx_1+(a-(a/b)*b)y_1=1$$
展开，提出含a含b的项，合并同类项：

\[ay_1+b(x_1-a/b*y_1)=1 \]

\[ax+by=1 \]

对比发现\(x=y_1,y=(x_1-(a/b)*y_1)\)。
一步一步递归求解，到\(a_n=1,b_n=0\)的时候\(x_n\)显然就等于1,\(y_n\)显然为0。
代码很简单：

int x,y;
int exgcd(int a,int b)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return a;
    }
    int r=exgcd(b,a%b);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-(a/b)*y;
    return r;
}

逆元的线性求法

显然 \(e[1]=1\);
然后设$p=ki+r,k=\lfloor a/b\rfloor,r=p%i \(. 那么\)\(p\equiv0(mod p)\)$

\[ki+r\equiv0(mod p) \]

同乘\(i^{-1}r^{-1}\)

\[k*r^{-1}+i^{-1}\equiv 0 (modp) \]

整理得：

\[i^{-1}\equiv-(p/i)*e[p\%i] \]

代码

e[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
    e[i]=-(p/i)*e[p%i];
    e[i]=(e[i]%p+p)%p;
}