复数

标签（空格分隔）： 数学

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补充一点复数的知识,学FFT要用.

虚数

在数学中，虚数就是形如\(a+bi\)的数，其中a,b是实数，且\(b≠0,i^2=-1\)。
虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创立，因为当时的观念认为这是真实不存在的数字。
后来发现虚数\(a+b*i\)的实部\(a\)可对应平面上的横轴，虚部b与对应平面上的纵轴，这样虚数\(a+b*i\)可与平面内的点\((a,b)\)对应。
其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。
为什么要引入虚数?这种东西在我们现实生活中似乎并不存在,引入它有什么用?
在解一些问题的时候,你发现两个完全两个阴阳两面的问题,却要列两个不同的方程式.可是仔细想想这两个问题似乎真的只是相反而已.为什么方程式完全不同?还是这两个方程有什么本身的内在联系?
例子可以看这篇文章.
https://www.zhihu.com/question/22443712/answer/115052135

\(i^n\)的周期性

\[i^1=i\\i^2=-1\\i^3=-i\\i^4=1\\i^5=i \\\cdots\]

你可以发现\(f(x)=i^n\)的最小正周期是4.
这个奇妙的性质使i这个数在一些领域有很大的作用,比如你在复数(复向量)乘以一个i就相当于在坐标系里旋转\(90^\circ\)

共轭复数

\(a+bi,a-bi\)形如这样的一对复数我们称它为一对共轭复数.

运算

三角表示法

对于一个复数\(X=a+bi\),记它的膜长\(r=|X|=\sqrt {a^2+b^2}\),辐角\(\theta\)为这个数在横坐标为实部,纵坐标为虚部的坐标轴上的向量和x轴的夹角.那么我们的复数x就可以表示为\(X=r(\cos\theta+i\sin\theta)\)

指数表示法

\[e^{i\theta}=1+\frac{1}{1!}i\theta+\frac{1}{2!}(i\theta)^2+\frac{1}{3!}(i\theta)^3...\\=1+\frac{1}{1!}i\theta-\frac{1}{2!}\theta^2+\frac{1}{3}i\theta^3-\cdots \]

\[i\sin \theta=i\theta-\frac{1}{3!}i\theta+\frac{1}{5!}i\theta^2-\cdots\\ \cos \theta = 1 - \frac{1}{2!}\theta + \frac{1}{4!}\theta-\cdots\]

两式相加得到:

\[\cos \theta + i\sin \theta=1+\frac{1}{1!}i\theta-\frac{1}{2!}\theta^2+\frac{1}{3}i\theta^3-\cdots=e^{i\theta} \]

于是就有对于一个复数$$X=r(i\sin \theta + \cos \theta)=re^{i\theta}$$
另\(r=1,\theta=\pi\),这就是伟大的euler公式

\[e^{\pi i}+1=0 \]