微分中值定理和泰勒展开

微分中值定理

费马引理

费马引理:设函数$f(x)$在点$x_0$的某领域$U(x_0)$内有定义,并且在$x_0$处可导,如果对任意的$x\in U(x_0)$,$有f(x)\leq f(x_0)$,那么 $$f'(x_0)=0.$$

罗尔定理

如果$f(x)$满足,在闭区间$[a,b]$上连续,且可导,在区间端点处的函数值相等,即$f(a)=f(b)$,那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi<b)$,使得 $$f'(\xi)=0$$ .

拉格朗日中值定理

如果$f(x)$满足,在闭区间$[a,b]$上连续,且可导,那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi<b)$,使得, $$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$$ .
换一种写法可能会比较好懂:

$$f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$

引进辅助函数$\varphi(x)=f(x)-f(a)$,结合Rolle定理可以证明.

柯西中值定理：

如果$f(x),F(x)$满足,在闭区间$[a,b]$上连续,且可导,那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi<b)$,使得,

$$\frac{f(t_{2})-f(t_{1})}{F(t_{2})-F(t_{1})}=\frac{f^{'}(t^{'})}{F^{'}(t^{'})}$$

设$\varphi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}F(x)$,结合Rolle定理可以证明.

Taylor展式

Taylor展开

设函数$f(x)$在点$x_0$的某领域$U(x_0)$内具有n+1阶导数,如果对任意的$x\in U(x_0)$,有:

$$f(x)=f(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}\\+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+R_n(x)$$

$$R_n(x)=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}$$

当$x$趋近于$x_0$的时候,$R_n(x)=O(x^n)$,称为佩亚诺余项,$R_n$称为拉格朗日余项
拉格朗日余项可以多次迭代运用柯西中值定理可以得到.
再看Taylor展式,要近似模仿一个函数$f(x)$,只要让另一个函数在某处的初始项,一阶导数,二阶导数...n阶导数相同.
用待定系数法可以推倒:
设:

$$g_n(x)=a_0+a_1(x-x_0)+a_2(x-x_0)^2+\cdots+a_n(x-x_0)^n$$

又:

$$g_n(x_0)=f(x_0)\\g_n'(x_0)=f'(x_0)\\g_n''(x_0)=f''(x_0)\\\cdots\\g_n^{(n)}(x_0)=f^{(n)}(x_0)$$

故

$$a_n=\frac{f^{(n)}}{n!}$$

麦克劳林级数

当$x_0=0$时,我们称这样特别的展开式为麦克劳林级数.
麦克劳林级数有一些有用的例子.

$e^x$的n阶麦克劳林公式

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+...+\frac{x^n}{n!}$$

$$e=1+1+\frac{1}{2!}+...+\frac{1}{n!}$$

三角函数的麦克劳林公式

$$\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-...+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m-1}}{(2m-1)!}+R_{2m}$$

$$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-...+(-1)^{m-1}\frac{x^{2m}}{(2m)!}+R_{2m+1}$$