递推关系和母函数
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母函数
定义
对于任意数列\(a_0,a_1,a_2\cdots\),用如下方法与一个函数联系起来：$$G(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+\cdots$$
则称G(x)是数列的生成函数(generating function),也称为母函数.
说白了就是,你可以用多项式的n次项系数表示一个数列.那母函数有什么用呢?可以用来证明一些组合数学的定理...可以用来标准化一些数学组合意义...比如一个小学数学的例子,两盘水果,一盘2个苹果,一盘3个梨子,这些水果同类型都长得一模一样,问你,拿到3个水果的方案,你可能可以很快回答出来:"三种方案啊.1个苹果2个梨子,2个苹果1个梨,3个梨",但是用母函数就可以这样来算.
哎!!3次项的系数是3!!第一个小括号里的就是拿苹果的方案,你可以不拿(1),可以拿1个(x),也可以拿两个(\(x^2\)),由于多项式乘法会两两都相乘,最后合并同类项的时候,相同的个数的水果的方案数就合并到了一起,这就是母函数一个基本的作用.算方案数
母函数与fibonacci
设$$f_1=f_2=1\f_{n+2}=f_{n+1}+f_n$$
现在我们已知递推关系,如何来找通项公式呢?引入母函数.
设$$G(X)=f_1x+f_2x2+f_3x3+\cdots$$
\((1)*x^3+(2)*x^4+...\)得:
移项合并同类项之后就得到:
强行因式分解:
再设:
因为两个函数完全一样只要系数对应就可以了,待定系数这样接一下解得:
\begin{cases}
A=\frac{1}{\sqrt 5}\B=-\frac{1}{\sqrt 5}
\end{cases}
带回去:设\(a=\frac{1+\sqrt 5}{2},b=\frac{1-\sqrt 5}{2}\)
根据无穷等比数列求和可以展开写成:
对应的每项的系数\(f_n=\frac{a^n-b^n}{\sqrt 5}\)
这是准确的通项公式,考虑如何表示得简洁一点,很容易发现\(|b|<1\)当n很大的时候,\(b^n\)是趋近于0的,这样我们就得到一个更好的式子:
我们还可以写成这个样子:
这不是黄金分割么...难怪有人说斐波那契数列彰显了数学的美..
还有一个关于fibonacci的美丽的结论:
恒等变换一下就好了,这个可以用来求fibonacci的前缀和.
线性常系数齐次递推关系
定义
\(a_n+c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}=0\)
\(a_0=d_0,a_1=d_1,...,ak-1=d_{k-1}\)
若\(c_1,c2,...,c_k,d_0,d_1,...,d_{k-1}\)都是常数，则称之为k阶的线性常系数齐次递推关系.
特征多项式:
这个特征多项式...为什么要叫特征多项式呢?因为它有特征啊!废话...
当我们碰到一个递推关系,例如\(f_n=2f_{n-1}+2,f_1=1\),利用高中数学必修五的知识,就是把它转化为\(f_n+2=2(f_{n-1}+2),f_1=1,f_2=2\),令\(g_n=f_n+2\),\(g_n\)是等比数列,所以\(f_n=3*2^{n-1}-2\).是通过构造辅助数列求解,但是不是每个式子都可以这样方便地表示,比如有的递推关系\(f_n=5f_{n-1}-6f_{n-2},f_1=1,f_2=2\),这就很麻烦了.我们发现,之前的递推式总是可以写成一个数的多少次方的形式,大胆地假设一下,这个也可以表示成\(f_n=k*x^n+b\)的形式,x,k,b为常数.那我们来找一找.
\(f_3=5*2-6*1=4\\f_4=5*4-6*2=8\\f_5=5*8-6*4=16\)
好像还真的有规律...\(f_n=2^{n-1}\)
\(f_1=1,f_2=3\)呢?
\(f_3=5*3-6*1=9\\f_4=5*9-6*3=27\\f_5=5*27-6*9=81\)
绝了,\(f_n=3^{n-1}\)次方...绝了,那你会不会想再把\(f_1f_2\)换成什么别的东西会有什么新的递推关系?做梦,那是不可能的...
为什么这个式子在茫茫数海中间,为什么只有2,3对它情有独钟,怕不是有什么本质的联系...
这个联系就是接下来要讨论的特征方程.
仔细推敲一下,发现\(f_n=2f_n+2\)这样的式子,你要是忽略掉后面的+2,很容易发现是指数增长的,每次都乘了一个2,那像\(f_n=5f_{n-1}-6f_{n-2}\)这样的,想象一下,\(f_{n-1}\)是由\(f_{n-2}\)乘了一个什么东西得来的,\(f_n\)是由\(f_{n-1}\)乘了一个相同的东西得来的.那么\(f_n\)就是\(f_{n-2}\)乘了一个这东西的平方得来的,然后我们要让这个递推关系成立,设这个东西为x,则:
x有两个解对不对\(x_1=2,x_2=3\)!!!!哎,2,3,又出现了!
于是数学家就把这玩意叫做,特征根了.是不是很有特征啊...
用法
这个特征方程是个很有用的东西,用它可以解出所有的线性常系数齐次递推关系的通项公式.
梳理一下解这类问题的一般的过程:
1.找出递推关系
2.用含\(f\)的项来消掉常数,得到特征方程.
3.分情况讨论.
来看看怎么找特征方程.
拿一个例子可能会比较好理解.
比如对于一个\(f_n=2*f_{n-1}+1,f_1=1\),怎么消掉那个常数呢?
所以$$f_n-3f_{n-1}+2f_{n-2}=0$$
哎!我么发现这个和那个定义式子长得好像!
那对于这个例子,我们找到它的特征多项式
用无穷等比数列求和的性质可以得到
所以\(f_n=A_1t_1^n+A_2t_2^n+\cdots+A_mt_m^n\)
接着上面那个例子,特征方程的解是\(x_1=1,x_2=2\),带入母函数里就是:
$$
\therefore
\begin{cases}
A_1+2A_2=1\\
A_1+4A_2=3
\end{cases}
\therefore
\begin{cases}
A_1=-1\\
A_2=1
\end{cases}
\\\therefore
f_n=2^n-1
$$
case2:共轭复根
直接上例子:求\(f_n-f_{n-1}+f_{n-2}=0,f_1=1,f_2=0\)的通项.这个看其来和之前差不多的样子,但是写出它的特征方程:\(x^2-x+1=0,x=\frac{1\pm\sqrt {-3}}{2}\)就会发现,它没有实数解!!!这怎么办???
没关系,我们试着用上面的方法:
这些乱七八糟的看起来很不爽对不对?想起一个美妙的等式...
复数的三角表示法:
所以我们可以把它换一种表示方式:
令$$\frac{1+\sqrt 3i}{2}=\frac 12+\frac{\sqrt 3i}{2}=e^{\frac {\pi i}3}$$
这样就没有i了.
针对一对共轭复根还有更简便的方法.就是直接先利用复数的指数表示法,再转化成三角表示法,最后回带通项公式,计算量要小很多.
二重根
推倒实在很麻烦,直接记结论就好,母函数:
再举个例子:\(f_n-4f_{n-1}+4f_{n-2}=0,f_1=0,f_2=4\)
特征方程:
解一下系数就可以得到,\(f_n=(1+n)*2^n\)
线性常系数非齐次递推关系
\(a_n+c_1a_{n-1}+c_2a_{n-2}+...+c_ka_{n-k}=r^nb(n)\)
特解形式为 \(r^n(k_0n^m+k_1n^{m+1}+\cdots+k_pn^{m+p})\)
用无重根为例子:$$\therefore f_n=A_1t_1n+A_2t_2n+\cdots+A_mt_m^n+c$$
例子,\(f_n-f_{n-1}-2f_{n-2}=2^nn\)
特解\(c=2^n(k_0+k_1n)\),带入原方程解得,\(k_1=\frac 45,k_0=\frac{16}{25}\)
带到结论里就可以:$$\therefore f_n=A_1t_1n+A_2t_2n+c$$
