简单数列极限证明

简单数列极限证明

1.$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1$

猜测极限是1，考虑使用夹逼定理。构造数列$a_n$ ,

$\sqrt[n]{a}=1+a_n$,所以$a=(a_n+1)^n>1+na_n$

$a_n<\frac{a-1}{n}\to0$

于是根据夹逼定理$1<\sqrt[n]{a}<1+a_n\to 1$

2.$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1$

同理$\sqrt[n]{n}=1+a_n\implies n=(1+a_n)^n>\frac{1}{2}n*(n-1)a_n$

$a_n<\frac{2}{n-1}\to 0$

3.$\lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^n}=0$

这个非常简单，因为$n!=n*(n-1)*\cdots2*1=n*(n-1)*\cdots2<n^{n-1}$

$\frac{n!}{n^n}<\frac{1}{n}\to 0$

4.$\lim_{n\to \infty}\frac{n^k}{n!}=0$

不妨设$n-k+1>\frac{n}{2}$

$$\begin{align} \frac{n^k}{n!}&=\frac{\overbrace{n*n*n*\cdots*n}^{k}*\overbrace{1*1*\cdots*1}^{n-k} }{n*(n-1)*\cdots*2*1}\\ &<\frac{\overbrace{n*n*n*\cdots*n}^{k}*\overbrace{1*1*\cdots*1}^{n-k} }{(n-k+1)^k*(n-k)!}\\ &<\frac{1}{2^k}*\frac{1}{(n-k+1)!}\to 0 \end{align}$$

5.$\lim_{n\to \infty} {n^k} / {a^n}=0(a>1)$

不妨设$n-k+1>\frac{n}{2}$

$$\begin{align} \frac{n^k}{a^n}&=\frac{n^k}{(1+(a-1))^n}<\frac{(\frac{n}{2})^k*2^k}{\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)(n-k)}{(k+1)!}*(a-1)^k} \\&<\frac{2^k*(k+1)!}{(a-1)^k(n-k)}\to 0 \end{align}$$

6.$\lim_{n\to \infty}\frac{a^n}{n!}=0$

$$\begin{align} \frac{a^n}{n!}&=\frac{\overbrace{a\cdots a}^{n}}{n(n-1)\cdots(2([a]+1))!}<\frac{\overbrace{a\cdots a}^{n-2([a]+1)}}{[2([a]+1)+1]^{2-2([a]+1)}}*\frac{\overbrace{a\cdots a}^{2([a]+1)}}{(2([a]+1))!}\\ &<(\frac{1}{2})^{n-2([a]+1)}*\frac{\overbrace{a\cdots a}^{2([a]+1)}}{(2([a]+1))!}=M*\frac{1}{2^n}\to0 \end{align}$$

7.$\lim_{n\to \infty}{a ^ n}/{n^n}=0$

不妨设$n>2a$

$\frac{a^n}{n^n}=(\frac{a}{n})^n<(\frac{a}{2a})^n=\frac{1}{2^n}\to 0$