简单数列极限证明

简单数列极限证明

1.limnan=1

猜测极限是1,考虑使用夹逼定理。构造数列an ,

an=1+an,所以a=(an+1)n>1+nan

an<a1n0

于是根据夹逼定理1<an<1+an1

2.limnnn=1

同理nn=1+ann=(1+an)n>12n(n1)an

an<2n10

3.limnn!nn=0

这个非常简单,因为n!=n(n1)21=n(n1)2<nn1

n!nn<1n0

4.limnnkn!=0

不妨设nk+1>n2

(1)nkn!=nnnnk111nkn(n1)21(2)<nnnnk111nk(nk+1)k(nk)!(3)<12k1(nk+1)!0

5.limnnk/an=0(a>1)

不妨设nk+1>n2

(4)nkan=nk(1+(a1))n<(n2)k2kn(n1)(n2)(nk+1)(nk)(k+1)!(a1)k(5)<2k(k+1)!(a1)k(nk)0

6.limnann!=0

(6)ann!=aann(n1)(2([a]+1))!<aan2([a]+1)[2([a]+1)+1]22([a]+1)aa2([a]+1)(2([a]+1))!(7)<(12)n2([a]+1)aa2([a]+1)(2([a]+1))!=M12n0

7.limnan/nn=0

不妨设n>2a

annn=(an)n<(a2a)n=12n0

posted @   Brioche  阅读(1110)  评论(0编辑  收藏  举报
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