简单数列极限证明
1.limn→∞n√a=1
猜测极限是1,考虑使用夹逼定理。构造数列an ,
n√a=1+an,所以a=(an+1)n>1+nan
an<a−1n→0
于是根据夹逼定理1<n√a<1+an→1
2.limn→∞n√n=1
同理n√n=1+an⟹n=(1+an)n>12n∗(n−1)an
an<2n−1→0
3.limn→∞n!nn=0
这个非常简单,因为n!=n∗(n−1)∗⋯2∗1=n∗(n−1)∗⋯2<nn−1
n!nn<1n→0
4.limn→∞nkn!=0
不妨设n−k+1>n2
nkn!=kn∗n∗n∗⋯∗n∗n−k1∗1∗⋯∗1n∗(n−1)∗⋯∗2∗1<kn∗n∗n∗⋯∗n∗n−k1∗1∗⋯∗1(n−k+1)k∗(n−k)!<12k∗1(n−k+1)!→0(1)(2)(3)
5.limn→∞nk/an=0(a>1)
不妨设n−k+1>n2
nkan=nk(1+(a−1))n<(n2)k∗2kn(n−1)(n−2)⋯(n−k+1)(n−k)(k+1)!∗(a−1)k<2k∗(k+1)!(a−1)k(n−k)→0(4)(5)
6.limn→∞ann!=0
ann!=na⋯an(n−1)⋯(2([a]+1))!<n−2([a]+1)a⋯a[2([a]+1)+1]2−2([a]+1)∗2([a]+1)a⋯a(2([a]+1))!<(12)n−2([a]+1)∗2([a]+1)a⋯a(2([a]+1))!=M∗12n→0(6)(7)
7.limn→∞an/nn=0
不妨设n>2a
annn=(an)n<(a2a)n=12n→0
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