简单数列极限证明
简单数列极限证明
1.$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{a}=1 $
猜测极限是1，考虑使用夹逼定理。构造数列\(a_n\) ,
\(\sqrt[n]{a}=1+a_n\),所以\(a=(a_n+1)^n>1+na_n\)
\(a_n<\frac{a-1}{n}\to0\)
于是根据夹逼定理\(1<\sqrt[n]{a}<1+a_n\to 1\)
2.$\lim_{n\to \infty} \sqrt[n]{n}=1 $
同理\(\sqrt[n]{n}=1+a_n\implies n=(1+a_n)^n>\frac{1}{2}n*(n-1)a_n\)
\(a_n<\frac{2}{n-1}\to 0\)
3.$\lim_{n\to \infty}\frac{n!}{n^n}=0 $
这个非常简单，因为\(n!=n*(n-1)*\cdots2*1=n*(n-1)*\cdots2<n^{n-1}\)
\(\frac{n!}{n^n}<\frac{1}{n}\to 0\)
4.$\lim_{n\to \infty}\frac{n^k}{n!}=0 $
不妨设\(n-k+1>\frac{n}{2}\)
\[\begin{align}
\frac{n^k}{n!}&=\frac{\overbrace{n*n*n*\cdots*n}^{k}*\overbrace{1*1*\cdots*1}^{n-k} }{n*(n-1)*\cdots*2*1}\\
&<\frac{\overbrace{n*n*n*\cdots*n}^{k}*\overbrace{1*1*\cdots*1}^{n-k} }{(n-k+1)^k*(n-k)!}\\
&<\frac{1}{2^k}*\frac{1}{(n-k+1)!}\to 0
\end{align}
\]
5.$ \lim_{n\to \infty} {n^k} / {a^n}=0(a>1) $
不妨设\(n-k+1>\frac{n}{2}\)
\[\begin{align}
\frac{n^k}{a^n}&=\frac{n^k}{(1+(a-1))^n}<\frac{(\frac{n}{2})^k*2^k}{\frac{n(n-1)(n-2)\cdots(n-k+1)(n-k)}{(k+1)!}*(a-1)^k}
\\&<\frac{2^k*(k+1)!}{(a-1)^k(n-k)}\to 0
\end{align}
\]
6.$ \lim_{n\to \infty}\frac{a^n}{n!}=0 $
\[\begin{align}
\frac{a^n}{n!}&=\frac{\overbrace{a\cdots a}^{n}}{n(n-1)\cdots(2([a]+1))!}<\frac{\overbrace{a\cdots a}^{n-2([a]+1)}}{[2([a]+1)+1]^{2-2([a]+1)}}*\frac{\overbrace{a\cdots a}^{2([a]+1)}}{(2([a]+1))!}\\
&<(\frac{1}{2})^{n-2([a]+1)}*\frac{\overbrace{a\cdots a}^{2([a]+1)}}{(2([a]+1))!}=M*\frac{1}{2^n}\to0
\end{align}
\]
7.$ \lim_{n\to \infty}{a ^ n}/{n^n}=0 $
不妨设\(n>2a\)
\(\frac{a^n}{n^n}=(\frac{a}{n})^n<(\frac{a}{2a})^n=\frac{1}{2^n}\to 0\)
