详解折半插入排序算法

折半插入排序算法的时间复杂度：O(nlogn)

折半插入排序利用二分法的思想，在一个有序的序列中，找到新元素在该序列中的位置，然后插入。如图1所示，共有n个元素，前i个元素已经是有序序列，现在要将第i个元素插入其中。折半插入排序需要做两步工作：找到待插入元素的位置、插入。

图1 插入排序示意图

首先要定义两个指针(不是语法里面的指针，是下标的意思)low和high用于寻找a[i]的插入位置，low指向a[0]，high指向a[i-1]，中点mid=(low+high)/2，

图2 “折半”示意图

如图2所示二分法的思想是，比较a[i]与a[mid]的大小，若a[i]>a[mid]，说明a[i]的位置应该在mid~high之间，将区间[low,high]缩短为[mid+1,high]，令指针low=mid+1；若a[i]<=a[mid]，说明a[i]的位置应该在low~mid之间，将区间压缩为[low,mid-1]，令指针high=mid-1。每次折半之后，a[i]的位置应该在[low,high]之间。

如此循环，low与high渐渐靠近，直到low>high跳出循环，a[i]的位置找到，low即为a[i]应该放置的位置。

找到a[i]的位置之后进行插入，先将a[low]~a[i-1]这些元素向后平移一个元素的位置，然后将a[i]放到low位置。

用Dev-C++编写的C++代码：

#include <iostream>
using namespace std;

void BinSort(int *a,int n) //对int数组进行从小到大的排序 
{
	for(int i=1;i<n;i++) //开始 以a[0]作为有序序列，从a[1]开始找到当前元素a[i]应该放置的位置 
	{
		int low=0,high = i-1,mid;//每次寻找a[i]的位置，都要更新这些数据 
		while(low<=high) //二分思想循环寻找a[i]的位置 
		{
			mid = (low+high) / 2;  
			if(a[i]<=a[mid])
				high = mid - 1;  //high指针减小 
			else
				low = mid + 1;   //low指针增加 
		}  //循环结束，low就是a[i]应该放置的位置 
		
		int temp = a[i];  
		for(int j=i;j>low;j--)  //将元素向后平移
			a[j] = a[j-1];  
		a[low] = temp;   //将元素temp = a[i] 放置到low位置 
	}
}

int main()  //举例说明
{
	int n = 10;
	int a[10] = {5,8,9,4,7,5,6,3,1,11}; 
	BinSort(a,n);
	for(int i=0;i<n;i++)
		cout << a[i] << " ";
	cout << endl;
	
	return 0;
}

一个细节：为什么内层的循环while(low<=high){...}结束之后以low作为a[i]应该放置的位置?

观察指针low与high重合之前与之后二者位置变化情况。设low>high的一步为第N步，走到第N步一共有四种情形：

情形一：

第N-2步时，mid=(low+high)/2，如果a[i]>a[mid]，low=mid+1，这样就到了第N-1步，low与high重合，mid=(low+high)/2=low=high，由于a[i]<=a[high]=a[mid]必然成立（否则，a[i]>a[mid]=a[high]，那么a[i]放置的位置应该在high之后了，也不会到达这一步），所以high=mid-1，这样就到了第N步，high<low，退出循环，此时位置high就是第N-2步的位置mid，所以此时，a[high]<a[i]<=a[low]，所以low就是a[i]应该放置的位置。

情形二：

第N-2步，mid=(low+high)/2，如果a[i]<=a[mid]，high=mid-1，这样就到了第N-1步，low与high重合，mid=(low+high)/2=low=high，由于a[i]>a[low]=a[mid]，所以low=mid+1，这样就到了第N步，high<low，退出循环，此时位置low就是第N-2步的位置mid，那么此时，a[high]<a[i]<=a[low]，所以low就是a[i]应该放置的位置。

情形三：

第N-2步，mid=(low+high)/2=low，如果a[i]>a[mid]=a[low]，low=mid+1，这样就到了第N-1步，low与high重合，mid=low=high，由于a[i]<=a[high]=a[mid]，所以，high=mid-1，这样就到了第三步，high<low，退出循环，此时位置high就是第N-2步的位置low，那么此时，a[high]<a[i]<=a[low]，所以low就是a[i]应该放置的位置。

情形四：

第N-1步，mid=(low+high)/2 = low，如果a[i]<=a[mid]=a[low]，high=mid-1=low-1，这样就到了第N步，low>high，退出循环，此时a[high]<a[i]<=a[low]，所以low就是a[i]应该放置的位置。

这样就解释了为什么退出循环之后，将low作为寻找的位置。

如有错误请指正！