概率论期末复习

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临阵磨枪，不快也光

1. 极大似然函数有可能单调。勿盲目求导。比如均匀分布两端点的参数估计。

2. 有的极大似然函数形式比较特殊。要注意构造。比如伯努利分布p的参数估计。

3. 有偏样本方差是方差的极大似然估计（怪），有偏样本标准差是标准差的极大似然估计（极大似然估计的特性）

4. 
   充分条件：

5. 卡方检验和独立性检验
   

6. 矩估计可能不存在，可能不唯一。无偏估计不一定合理。最大似然估计也可能不唯一。

7. 置信下限就是小的那个，置信上限是大的那个。

基于成对数据的检验

第五章 多维随机变量

多维随机变量函数的分布：
离散的：

1. $\mathrm{若}X\sim B(n_1,p),Y\sim B(n_2,p),\mathrm{且}X\mathrm{和}Y\mathrm{相}\mathrm{互}\mathrm{独}\mathrm{立}，\mathrm{则}X+Y\sim B(n_1+n_2,p)$

2. $\mathrm{若}X\sim P({\lambda }_1)\mathrm{和}Y\sim P({\lambda }_2)\mathrm{相}\mathrm{互}\mathrm{独}\mathrm{立}，\mathrm{则}X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$

连续的：

1. 相互独立的两个服从标准正态分布的随机变量的平方和e(1/2)、根号下平方和瑞利分布、相除柯西分布
2. 乘除加减的分布
3. 最大最小值的分布
4. 求联合分布
5. 多维正态分布的一些结论

第六章 数字特征

$\mathrm{Cov}(X,Y)=E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=E(XY)-E(X)E(Y)$
$\mathrm{Var}(X\pm Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)$
$\mathrm{Cov}(X_1+X_2,Y)=\mathrm{Cov}(X_1,Y)+\mathrm{Cov}(X_2,Y)$
$(X,Y)\sim \mathcal{N}({\mu }_x,{\mu }_y,{\sigma }_x^2,{\sigma }_y^2,\rho ),\text{则有 Cov}(X,Y)=\rho {\sigma }_x{\sigma }_y$
${\rho }_{XY}=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}}$

第八章 大数定律及中心极限定理

大数定律

$\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\stackrel{P}{\to }\frac{1}{n}\sum _{i=1}^{n}E[X_i]$
马尔可夫条件：$\frac{1}{n^2}\mathrm{Var}\left(\sum _{i=1}^n{X}_i\right)\to 0n\to \mathrm{\infty }$
辛钦条件：$\begin{array}{r}{X}_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots \end{array}$独立同分布，且$E[X_i]$都存在。
伯努利大数定律：$\begin{array}{rl}{X}_n/n& \stackrel{P}{\to }p\end{array}$

中心极限定理

林德贝格勒维：$\begin{array}{r}{X}_1,X_2,\cdots ,X_n,\cdots \end{array}$独立同分布，则$Y_n=\frac{\sum _{i=1}^n{X}_i-n\mu }{\sigma \sqrt{n}}\stackrel{d}{\to }\mathcal{N}(0,1)$
棣莫佛拉普拉斯：$X_n\sim B(n,p)$则$Y_n=\frac{X_n-np}{\sqrt{np(1-p)}}\stackrel{d}{\to }\mathcal{N}(0,1)$

第九章 统计的基本概念

样本统计量
Beta分布，Gamma分布，Dirichlet分布
Gamma分布的可加性：$X\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_1,\lambda ),Y\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_2,\lambda )$且$X,Y$相互独立则$X+Y\sim \mathrm{\Gamma }({\alpha }_1+{\alpha }_2,\lambda )$
卡方分布，t分布，F分布
【$E({\chi }^2)=n,D({\chi }^2)=2n$】
$\overline{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\sim \mathcal{N}(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n}),\frac{\overline{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\sim \mathcal{N}(0,1)$
$\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$
$\frac{\overline{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$

分数位点
F分布的分数位点特殊性质

第十章 参数估计

点估计

矩估计法
最大似然估计法
最大似然估计不可变性

评价标准

无偏性
有效性
${\mathrm{Var}}_0(\theta )=\frac{1}{nE\left[{\left(\frac{\partial \ln f(X;\theta )}{\partial \theta }\right)}^2\right]}\text{或}{\mathrm{Var}}_0(\theta )=\frac{1}{nE\left[{\left(\frac{\partial \ln F(X;\theta )}{\partial \theta }\right)}^2\right]}$

一致性$\underset{n\to 0}{lim}Pr[|{\hat{\theta }}_n-\theta |>ϵ]=0$
充分条件$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}E\left[{\hat{\theta }}_n\right]=\theta \text{和}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\text{Var}\left({\hat{\theta }}_n\right)=0$

区间估计

置信度是$1-\alpha$
枢轴变量法

1. 正态总体 方差已知 求期望的区间估计

2. 正态总体 方差未知 求期望的区间估计

3. 正态总体 求方差的区间估计

4. 双正态总体 求期望差（已知方差，或者未知方差但方差相等）、方差比的区间估计
   $W=\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-({\mu }_1-{\mu }_2)}{S_W\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}}\sim t(n+m-2)$
   $W=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}\sim F(n-1,m-1)$

F分布求区间时要注意$b=F_{\frac{\alpha }{2}}(n-1,m-1),a=F_{1-\alpha /2}(n-1,m-1)$

5. 非正态分布，集中不等式法/中心极限定理法

好题

评：点估计，两个参数，不同方法。

第十一章 假设检验

已知分布，期望检验

期望检验
方差已知的： Z检验
方差未知的： t检验

期望差检验
方差已知的：$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2=\delta$
$U=\frac{\overline{X}-\overline{Y}-\delta }{\sqrt{{\sigma }_1^2/n+{\sigma }_2^2/m}}\sim \mathcal{N}(0,1)$
方差未知但相等的：略

成对比较期望是否相同

已知分布，方差检验

单个正态总体的：卡方检验
两个正态总体的：略

未知分布

卡方检验
$W=\sum _{i=1}^k\frac{(n_i-n{p}_i{)}^2}{n{p}_i}\sim {\chi }^2(k-1)$

好题