【课业】南大线代期末冲刺有感

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南大线代期末冲刺

12.16

思路1：只需要求C的迹，又结合常识：AB相似于BA（A、B都可逆的前提）即可得到答案。
其实从这里是可以引出思路2的。AB和BA有一个特别重要的关系式：
$λ^{n}$ | $E_{m} - A B$ | = $λ^{m}$ | $E_{n} - B A$ |
所以AB和BA的非零特征值一模一样的，另外，如果A、B同型，那么零特征值的重数也应该是一样的（想想为什么？很简单哦）
直接根据这个式子，也可以做出这道题。
这个式子的背后是我们熟悉的一种方法：打洞法，一定要掌握哦！

法向量组在某一年的期中考试中进行了直接的考察

方法一是经典且自然的，但方法二中用到了一些技巧，也很值得学习。
比如证法二首先用到了这样一个引理：
一个秩为r的m×n矩阵A一定可以写成A=BC,其中B是秩为r的m×r的矩阵,C是秩为r的r×n的矩阵。
一行简证：

而接下来的把施密特正交化和矩阵乘法联系在一起的技术更是让人大开眼界！

1.11

真是懒啊，都过去这么久了。。。今天想到做还是因为张老师做了一份答案出来。。。
dd

1.28

这真是一道好题！

2.3

这是 $r a n k (A^{T} A) = r a n k A$ 的一个变式，方法可以说是一模一样。注意转换过程中的转置，穿脱不要弄错了。

逆矩阵的（对应的非零特征值）特征向量和原矩阵一样，而特征值是原矩阵特征值的倒数。
![image]

这个题出的也很好，可以用来练手。一定要让两个向量组做相同的初等变换，才能看的出来加哪个向量能增秩。

第二问又是脑筋急转弯。。。利用的东西我倒是很熟悉，函数作用在矩阵上，也相应作用在特征值上。

设 $A = (\begin{matrix} 1 - a & a \\ b & 1 - b \end{matrix})$ ，其中 $0 < a, b < 1$ ，求 $lim_{n \to \infty} A^{n}$
没有第一时间意识到对角化，相似矩阵还求错了。。。。还是那句话，这种级别的考试，丢分往往是丢在会的题目上。