【课业】线代期中考试前的准备

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①

上三角/下三角行列式的非零项都是↘对角线的，这时直接把它们乘起来是对的。但如果遇到

切勿直接乘对角线，还要注意符号。对于n阶行列式，要乘以

(- 1)^{n (n + 1) / 2}

类似的问题还有分块矩阵问题中

| \begin{array}{cccc} A & 0 \\ * & B \end{array} | = | A | | B |

| \begin{array}{cccc} 0 & A \\ B & * \end{array} | = (- 1)^{m n} | A | | B |

②

矩阵乘方类题目。这类题的第一种解法被称为分解法，也是答案中的第一种方法，利用矩阵乘法的结合律，把不好算的ABAB换成A（BA）B。第二类解法为分拆法，这个题倒是用不上。第三类解法为归纳法，也就是标答给的第二种解法。

③

是一道很简单的题，但我盯了半天都没看出来怎么回事。说明行列式运算太不熟悉了（加法性质、数乘性质）
一定要注意行列式是可以加的！行列式的加法和数乘都是针对一行或者一列的，和矩阵不同！

④

类似的问题很多，不要想当然哦，比如

(A B)^{T} = (B^{T} A^{T})

分块问题是很多的，又比如分块矩阵乘法的条件相当严苛，一定要特别注意。但实际操作还是挺简单的——A的列分法和B的行分法完全一致即可。

⑤

关于kevin给我们讲的经典问题：

$A^{T} A x = 0 和 A^{T} x = 0 是同解的$ (5.1)

很明显后者的解一定是前者的解，只需证明反过来也正确
很妙的一手：
由 $A^{T} A x = 0$ 得到 $x^{T} A^{T} A x = 0$
进而 $(A x)^{T} A x = 0$
Ax是m×1型矩阵，它的转置乘以自己就等于所有元素的平方和，由此可知Ax=0.
但实际上A^T这个条件太强了...
很容易通过这个题证得

$r a n k A^{T} A = r a n k A$ (5.2)

这是因为 $r a n k N (A) = n - r a n k A$
反过来也能推得同解的结论
这又需要一个结论

如果两个解空间的维数相等，并且解空间之间具有包含关系，那么这两个解空间是相同的 (5.3)

下面是一个有类似想法的题目。转化成方程组有解问题，然后再用那个小技巧。****

⑥

一个对化简很有启示的东西
$(A^{- 1} + B^{- 1})^{- 1} = A (A + B)^{- 1} B = B (B + A)^{- 1} A$
这个推导的过程一定要熟练，不然化简题会很难受
当然遇到实际问题要根据实际处理

⑦

一开始以为这个用处不多，但实际上不是
$r a n k A B ⩾$ rankA+rankB-n
这并不要求两个都是方阵，n是A的列数，B的行数。
特别地， $A B = 0$ 可以推出 $r a n k A + r a n k B ⩽ n$
这是很有用的！可以把很多复杂问题变得很简单
例. $r a n k A = n - 1$ 时 $r a n k A^{*} = 1$
还有很多小题，见到两个乘起来是0就要记得用这个结论!

⑧

这个题出的很基础，但又很好。
第二问中，什么叫能表示？
其实就是 $A x = e_{i}$ 有解啦！

(I) $A_{n \times r} = (α_{1}, . . ., α_{r})$
(Ⅱ) $B_{n \times s} = (β_{1}, . . ., β_{s})$
$r a n k B ⩾ r a n k A \Leftarrow （ I ）能被 (Ⅱ) 线性表示 ⟺ B x = A 有解$ $⟺ r a n k B = r a n k (B | A)$

⑨

法一、设出六个未知量解方程，考场上想不出好法就果断用这种方法
法二、怎么得到A的第一列？右乘 $(1, 0, 0)^{T}$ 即可,这个要熟练

然后就是合并这几个方程，利用矩阵的东西去解决问题，是个值得推广的好思路。
法三、
我愿称此方法为乾坤大挪移！一个值得学习的转化。

⑩

在最小二乘法学到的东西（老师不讲），其实也是有用的哦!
$r (A^{T} A) ⩽ r (A^{T} A | A^{T} B) = r (A^{T} (A | b)) ⩽ r (A^{T}) = r (A) = r (A^{T} A)$
从而证明了 $A^{T} A x = A^{T} B$ 一定有解

⑪

首先读准题，不要漏了A、B都是幂等方阵的条件！
其次，有一个稍微有点思维量的一步
由AB+BA=0推出AB=BA=0
AB=-BA=-BBA=BAB=BBAB=-BABB=-BAB=BBA=BA
还是有点难的。。。。

⑫

这个玩意还是挺重要的哈！
如果r(A)=s,那么Ay=0就只有零解，也就是Bx=0，这种角度还是挺妙的。

13

条件很强的这种，一定要会“取”
一般就是取单位的东西，向量也好，矩阵也好
还有就是熟练的用矩阵乘法找到某一行某一列某一个元素！

补充：不仅要会取一列、一行，还要会取多列、多行。

再补充：还有一些有趣但无用的类似手法

A1n表示行和组成的列向量，1NTA表示列和组成的行向量

14

这题有高中奥赛那味了

不等式功底要求很高

15

关于矩阵乘法的“消去律”
AB=AC A:mxn B:nxp c:nxp
如果A是列等秩的（r(A)=n≠0）那么B=C

引理 r(AB)≥r(A)+r(B)-n

由AB=AC得到A(B-C)=0,则r(A)+r(B-C)≤n，又r(A)=n，知B-C=0.

等价形式：AB=0 A列等秩则B=0

对称形式： BA=CA (mxn nxp)如果A是行等秩的
由(B-C)A=0,得到r(B-C)+r(A)≤n，则B-C=0,B=C.

16

自己发现的一个小结论
若存在k,l使得AB=kA+lB
则AB=BA
证明略掉，利用的是逆矩阵的可交换性质

17

短小精悍的题目！关键就是理解r(A)+r(B)=n的条件意味着什么，AB=0我们可以马上意识到B的每一列都是Ax=0的解，但我们又有r(B)=n-r(A)=r(N(A)),因此B的列的极大无关组是可以作为Ax=0的基础解系(注意粗体二者区别)的!C的自然也是可以的啦！如果不喜欢直接这么说过去，就把B、C的列等价转为秩等，然后发现C也等于AC=0，r(A)+r(C)=n，和B其实是一回事，其实没必要这么说啦。