【课业】线代期中考试前的准备

①

上三角/下三角行列式的非零项都是↘对角线的，这时直接把它们乘起来是对的。但如果遇到

切勿直接乘对角线，还要注意符号。对于n阶行列式，要乘以$(-1)^{n(n+1)/2}$
类似的问题还有分块矩阵问题中

\[\left| \begin{array}{cccc} A & 0 \\ * & B \\ \end{array} \right| =|A||B|\]

\[\left| \begin{array}{cccc} 0 & A \\ B & * \\ \end{array} \right | =(-1)^{mn}|A||B| \]

②

矩阵乘方类题目。这类题的第一种解法被称为分解法，也是答案中的第一种方法，利用矩阵乘法的结合律，把不好算的ABAB换成A（BA）B。第二类解法为分拆法，这个题倒是用不上。第三类解法为归纳法，也就是标答给的第二种解法。

③

是一道很简单的题，但我盯了半天都没看出来怎么回事。说明行列式运算太不熟悉了（加法性质、数乘性质）
一定要注意行列式是可以加的！行列式的加法和数乘都是针对一行或者一列的，和矩阵不同！

④

类似的问题很多，不要想当然哦，比如$(AB)^T =(B^TA^T)$

分块问题是很多的，又比如分块矩阵乘法的条件相当严苛，一定要特别注意。但实际操作还是挺简单的——A的列分法和B的行分法完全一致即可。

⑤

关于kevin给我们讲的经典问题：

$A^TAx=0和A^Tx=0是同解的$ (5.1)

很明显后者的解一定是前者的解，只需证明反过来也正确
很妙的一手：
由$A^TAx=0$ 得到 $x^TA^TAx=0$
进而$(Ax)^TAx=0$
Ax是m×1型矩阵，它的转置乘以自己就等于所有元素的平方和，由此可知Ax=0.
但实际上A^T这个条件太强了...
很容易通过这个题证得

$rankA^TA=rankA$ (5.2)

这是因为$rankN(A)=n-rankA$
反过来也能推得同解的结论
这又需要一个结论

如果两个解空间的维数相等，并且解空间之间具有包含关系，那么这两个解空间是相同的 (5.3)

下面是一个有类似想法的题目。转化成方程组有解问题，然后再用那个小技巧。****

⑥

一个对化简很有启示的东西
$(A^{-1}+B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B=B(B+A)^{-1}A$
这个推导的过程一定要熟练，不然化简题会很难受
当然遇到实际问题要根据实际处理

⑦

一开始以为这个用处不多，但实际上不是
$rankAB\geqslant$rankA+rankB-n
这并不要求两个都是方阵，n是A的列数，B的行数。
特别地，$AB=0$可以推出$rankA+rankB\leqslant n$
这是很有用的！可以把很多复杂问题变得很简单
例. $rankA=n-1$时$rankA^*=1$
还有很多小题，见到两个乘起来是0就要记得用这个结论!

⑧

这个题出的很基础，但又很好。
第二问中，什么叫能表示？
其实就是$Ax=e_i$有解啦！

(I)$A_{n×r}=(α_1,...,α_r)$
(Ⅱ)$B_{n×s}=(β_1,...,β_s)$
$rankB\geqslant rankA \Leftarrow（I）能被(Ⅱ)线性表示\iff Bx=A有解$$\iff rankB=rank(B|A)$

⑨

法一、设出六个未知量解方程，考场上想不出好法就果断用这种方法
法二、怎么得到A的第一列？右乘$(1,0,0)^T$即可,这个要熟练

然后就是合并这几个方程，利用矩阵的东西去解决问题，是个值得推广的好思路。
法三、
我愿称此方法为乾坤大挪移！一个值得学习的转化。

⑩

在最小二乘法学到的东西（老师不讲），其实也是有用的哦!
$r(A^TA)\leqslant r(A^TA|A^TB)=r(A^T(A|b))\leqslant r(A^T)=r(A)=r(A^TA)$
从而证明了$A^TAx=A^TB$一定有解

⑪

首先读准题，不要漏了A、B都是幂等方阵的条件！
其次，有一个稍微有点思维量的一步
由AB+BA=0推出AB=BA=0
AB=-BA=-BBA=BAB=BBAB=-BABB=-BAB=BBA=BA
还是有点难的。。。。

⑫

这个玩意还是挺重要的哈！
如果r(A)=s,那么Ay=0就只有零解，也就是Bx=0，这种角度还是挺妙的。

13

条件很强的这种，一定要会“取”
一般就是取单位的东西，向量也好，矩阵也好
还有就是熟练的用矩阵乘法找到某一行某一列某一个元素！

补充：不仅要会取一列、一行，还要会取多列、多行。

再补充：还有一些有趣但无用的类似手法

A1n表示行和组成的列向量，1NTA表示列和组成的行向量

14

这题有高中奥赛那味了

不等式功底要求很高

15

关于矩阵乘法的“消去律”
AB=AC A:mxn B:nxp c:nxp
如果A是列等秩的（r(A)=n≠0）那么B=C

引理 r(AB)≥r(A)+r(B)-n

由AB=AC得到A(B-C)=0,则r(A)+r(B-C)≤n，又r(A)=n，知B-C=0.

等价形式：AB=0 A列等秩则B=0

对称形式： BA=CA (mxn nxp)如果A是行等秩的
由(B-C)A=0,得到r(B-C)+r(A)≤n，则B-C=0,B=C.

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自己发现的一个小结论
若存在k,l使得AB=kA+lB
则AB=BA
证明略掉，利用的是逆矩阵的可交换性质

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短小精悍的题目！关键就是理解r(A)+r(B)=n的条件意味着什么，AB=0我们可以马上意识到B的每一列都是Ax=0的解，但我们又有r(B)=n-r(A)=r(N(A)),因此B的列的极大无关组是可以作为Ax=0的基础解系(注意粗体二者区别)的!C的自然也是可以的啦！如果不喜欢直接这么说过去，就把B、C的列等价转为秩等，然后发现C也等于AC=0，r(A)+r(C)=n，和B其实是一回事，其实没必要这么说啦。