CMF | 麦克亚当圈的色坐标之差
色差应该控制在多少范围之类呢
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CMF | 如果要两个物体没有色差，它们的色坐标之差应该控制在多少范围内？麦克亚当圈就专门讨论这个问题~
我们在上三期介绍了CIE 1931色度图（文末有链接），一个新的问题就来了：如果要两个物体没有色差，它们的色坐标之差应该控制在多少范围内？
麦克亚当圈就专门讨论这个问题。
这个东西其实背景略复杂。。。
简单点说，就是，以麦克亚当为代表的科学家，他们针对颜色宽容度做了一系列实验。其结论就是，以圈圈里面的这个点为中心（目标色），一旦待对比的样品色品坐标超出了这个圈圈的范围，99%以上都会认为有色差。
图里的这些圈圈就是所谓的"麦克亚当圈"，因为是椭圆形的，所以也叫麦克亚当椭圆，MacAdam ellipse）
这个图告诉我们两件事：
1. CIE 1931色空间是一个不均匀的色空间；
2. 人对颜色宽容度的判断，跟我们一般的直觉不同，它并不是一个确定事件，而是一个服从概率分布的随机事件（不能稳定的复现实验结果，而是有波动）。
❶ 首先说说第一点：色空间不均匀。
麦克亚当圈在色度图不同的位置大小会不同，这就意味着在不同颜色区域颜色宽容度*不一样。比如，绿色部分的圈比较大，而蓝色部分很小。这意味着，在绿色区域，即使Δx和Δy很大，也可能看起来是差不多的绿。而在蓝色区域，即便Δx和Δy只有一丢丢，也是不同的蓝色。因此CIE 1931是个不均匀的色空间。
颜色宽容度* ，color tolerance
色度图上，人眼感觉不到颜色差异的变化范围，被称为颜色宽容度。
当我们要复现某一个颜色的时候，要完全准确的复现色度图上的某一个点其实是非常困难的，但在一定的误差（tolerance）范围内的复现则是可行的。
对颜色宽容度的研究，是颜色复现工作的重要理论基础。
❷ 这些圈圈并不是圆，而是椭圆。也就是说，x和y方向上的颜色宽容度也不一样。
并且，有的地方是x方向的宽容度高，有的地方是y方向的宽容度高。因为这些椭圆的方向角也是随位置不同而不同的。
▌ 这会带来什么问题呢？
现在假设我们有一个颜色A和颜色B。它们的色品坐标都已经测出来了，那么Δx和Δy都知道了。
如果CIE 1931是个均匀的色空间，那么麦克亚当圈就应该是一个正圆形。假如Δx和Δy在某个阈值范围之内，就可以知道它们看起来应该是一个颜色。反之，两个颜色就是有色差的。
可是，事实上CIE 1931却是不均匀的。。。所以即便是我们已经知道颜色A和B的色坐标，它们看起来有没有差别也还是没法确定。。。
▌ 那么我们费这么大劲，把测量颜色的量化工作做到如此地步*，又意义何在呢？！
*精确测量色坐标，需要用带标准光源的分光式光谱仪，设备又贵又笨重，还需要经常校准（校准也是一大笔钱哇！），测起来速度也慢，测试数据还要精确到小数点后四位。。。
即便是专门为某些特定应用场合设计的、轻便型、分色式色度计，也不便宜。。。玩过校色仪的同志都懂 。。。(￣▽￣)"
所以，CIE一系列的后续发展，基本都是为了要解决这个问题。
一切的一切，就是要让麦克亚当圈从椭圆变成正圆！
CIE 1960 UCS图上的麦克亚当椭圆
圆了不少，但也还是不完美。
因为真正（理论上）理想的均匀色品图是一个曲面，而不是一个平面。所以在平面上只能找到一个近似均匀的色品图（有点类似要在地图上画地球仪的感觉）。
唉，将就一下咯。。。
由此，在均匀的色空间里，更容易得到有效的色差公式。
以更均匀的L*a*b*色空间为例，颜色（L*1a*1b*1）和颜色（L*2a*2b*2）之间的色差ΔE*ab（CIE LAB色差）就是简单的算一下两点之间的距离就可以了：
ΔE，读作Delta E。
Δ是希腊字母，念作delta，经常用来表示"差值"的意思。
而这个E，则来自于德语的Empfindung，意思是"感知"。
用ΔE来标注色差的传统，源自色度学的两位先驱，亥姆霍兹（Hermann von Helmholtz）和赫林（Ewald Hering），他们都是德国人。。。
当然，色度学作为一门发展中的学科，对色差的计算也还在升级打怪中（怎么可能这么简单就结束了，呵呵。。。）
考虑到麦克亚当圈在Lab空间里其实也是椭圆，所以即便是ΔE的值都是1（单位NBS），人感受到的色差大小也会略有差异。因此ΔE*ab引入了代表椭圆的大小和偏心率的权重函数，升级为ΔE*cmc（CMC（l:c）色差）。
进一步，由于观察条件的不同，色差的主观感受也不同。因此又引入了代表观察条件的参数因子，色差公式升级为ΔE*94（CIE 94色差，1995年公布）。
现在的终极版本则是考虑得更细致、参数更多的ΔE*00（CIE 2000色差，2000年公布）。这里就不放公式长什么样了，反正就是很长很长很长的一串。。。有机会再详细介绍（啊，也许吧。。。
▌ 啰嗦了这么长一段，我想表达的重点就是：
大家以后看到ΔE这个色差参数的时候，还需要留意一下具体用的是哪一个算法。
如果没有特别说明，就应该是目前应用最广泛的ΔE*ab，它的色差单位是NBS（美国国家标准局的英文缩写，National Bureau of Standards）。然而并不是所有的色差值单位都是NBS，不同的公式，单位就不一样，不同体系下的色差值也没法简单地换算。。。
而在CIE LAB色差ΔE*ab的值都一样的情况下，人对色差的感受也不一定一样。它是一个相对准确、而非绝对准确的值，一个年轻的、还在发展完善中的色度学参数。。。
至于第二点，人对色差感受的随机性，则更难理解了。。。
首先，麦克亚当圈是分阶数的，我们在上图看到的麦克亚当圈示意图其实是个五阶的图，是一阶麦克亚当圈的十倍大！
可是这个"阶"是什么意思呢？
所谓的一阶，就是统计学上说的标准差。
那这个标准差又是什么意思呢？
简单说就是，色坐标一旦超过这个一阶的圈，会有大概七成（68.3%）的概率被判定为有色差。
▌ 简单回顾一下相关统计学背景知识
正态分布（Normal distribution），也称"常态分布"，又名高斯分布（Gaussian distribution）。它是应用最广泛的一种连续型分布，大部分的自然现象及人为程序是呈现正态分布的，或是经由转换后可以用正态分布的形式来表现。
若随机变量X服从一个位置参数为μ、尺度参数为σ 的概率分布，且其概率密度函数为
则这个随机变量X就称为正态随机变量，称为X服从正态分布。
它的分布曲线呈钟形，因此又被称为"钟形曲线"。
长这样：
在曲线下的区段面积可用来估计一特定事件发生之累计概率。
当样本值和样本平均值的误差在一个标准差σ以内时，发生的概率为68.3%；而在一个标准差σ以外的发生概率则为1-68.3%=31.7%.
依此类推，误差超出的标准差个数越多，概率迅速减少。
当样本值和均值的误差在6个σ以上时，发生概率只有百万分之三左右。这就是六西格玛管理的理论基础。
一阶麦克亚当圈的"一阶"，就是指+/-1 s.d.（正负两个方向的标准差σ，standard deviations）。
每一个字都能看懂，可是这到底是什么意思。。。
我们先来看一下麦克亚当的实验是怎么做的。
首先，在色度图上选一个待对比的标准颜色W；
然后，在某一个方向上画一条线k，在上面选出两个颜色U和V，这样就可以用适当的方法混合U和V，生成颜色W；
再然后，稍微"干扰"一下U和V的混合条件，改变配比值，从而生成一个和W稍有偏差的新颜色W'（这个偏差方向一定在k线上）；
最后，由参与实验的观察者重新调整U和V的混合条件，使得W'回到W上来。而W'其实并不需要和原来的W完全重合，只要是看起来没有色差就行了，所以最后就得到了和W没有色差的W*。
最后的最后，对比一下W和W*的色坐标，就可以知道W附近的颜色宽容度有多大了。
经过这个试验（以及其它的一系列实验），科学家们发现，颜色宽容度并没有一个明确的边界，因为W跟W*的数据是这个样子的：
这是一个假设k线是水平线的示意图。
把W*的x数据画成直方图大概就长这样（其实没有数据，是我随便画的，看个意思）：
所以，跟我们一般的直觉不同，人眼对色差的判断，有一定的随机性，应该用统计学的眼光来看待这个问题。（怪不得我之前看色差样品的时候老觉得自己眼神不好，为什么色差一会儿有一会儿没有...原来这事儿不能怪我...谁看都一样...
根据正态分布的特点，W*落在三倍标准差以内的概率高达99.7%。也就是说，距离W点三倍标准差以上（三阶麦克亚当圈以外）的点，几乎百分之百会被判定有色差。因此三倍的标准差就被称为恰可察觉差(Just Noticeable Difference，也可译作刚辨差)。
但是！这并不意味着小于恰可察觉差的颜色感觉不到色差！
我们可以说"色坐标一旦超过三阶的圈，一定会有色差"，但不能说"没超过三阶的圈就不会有色差"。注意这两者的区别！
当W*的色坐标进入W的三阶圈的范围之内，（被判定为）有色差的概率从99.7%一路下降，直到W*和中心点W重合、概率下降为0为止。
所以，重点就是！即便是色坐标的差值在一个标准差之内，也不一定是没有色差的！虽然概率小，但也不是没有！
因此，在实际应用中，对色差的管控应该具体情况具体分析，根据具体需求来设置一个合理的色差标准（并没有那种放之四海而皆准的阈值来判定有没有色差）。
在麦克亚当的实验中，选择了25个常见的颜色作为待对比的标准颜色。每一个颜色都进行了多个k线方向的测试。而每一个方向，则进行了50次采样，从而计算出标准差，再把这个标准差的大小以线段长度的形式标注在k线上。最后用一个圈把它们连起来，就是一阶的麦克亚当圈。
PGN是测试者 Perley G. Nutting 的名字缩写，麦克亚当实验的主要数据都来源于他的观察结果。
一阶（1-step）对应+/-1 standard deviation（其实一左一右两个方向差了有两个标准差）。
两阶对应正负两个标准差。三阶就对应正负三个标准差。依此类推。
阶数（Step）越大，圈圈也就越大，判定为有色差的概率就越大。
当我们第一眼看到上文中的麦克亚当椭圆示意图的时候，可能会有一种错觉：没有色差的某一个颜色的区域是很大一片。
其实并不！！！
那个图是把一阶麦克亚当椭圆放大了10倍的效果图（也就是五阶）。
放大了10倍！
放大了10倍！
放大了10倍！
重要的事情说三遍！
主要目的就是为了照顾眼神不好的人，啊不，是因为一阶的麦克亚当圈实在太小了，几乎看不出来是个椭圆了，手抖PS一下大概长这样：
采用了错误的P图方案，所以P得花里胡哨的。。。累死了就这样了不要在意这些细节。。。
所以如果不考虑眼神不好的人，大部分人对色差还是非常敏感的！对大多数人而言，在色品图上可以圈出非常非常多种不同的颜色！
从我自己的使用经验上看，也是这样。抬眼一看，色坐标精确到了小数点后第四位，很小嘛！在测量色差的时候，如果两个色坐标相差了0.1，感觉上色差似乎很小的样子。。。其实并不！！！
一阶麦克亚当圈的半径量级大概在0.001上（简化成圆来看）。所以如果两个色坐标之间距离有0.1，按照三阶的刚辨差来算，其实就已经是可识别的色差水平的几十倍了！换句话说，它们之间已经可以容纳下数十种不同的颜色！
So， 我的个人建议，最好把这个色坐标当做千位数来看（就是在头脑里假装不要那个小数点，比如 0.1234 要看作 1234）。色差值在个位数的时候，基本看不出色差。一旦上了十位数，色差很有可能就出来了。
这样做可以让你对色差保持更高的警惕，本人对此可是有过惨痛的教训。。。
LED光源的色差管理
LED光源的色差管理也会用到麦克亚当圈的知识。
之前介绍了，LED出厂的时候，都要按颜色和发光强度来分Bin（分批出货）。而每一个厂家分Bin的方式都是不同的。一般来说，厂家会执行ANSI的标准，按4阶麦克亚当圈来分Bin（ANSI， American National Standards Institute 美国国家标准学会）。
但是我们也看到了，4阶其实范围已经很大了。一些比较牛的厂家就会采用3阶的标准。（也有采用5阶标准的，手动斜眼→_→
虽然各界厂家分Bin的方式各不相同，经常数据一大堆看得你眼花缭乱，但如果你知道他是按几阶麦克亚当圈来分的，你就大概知道它的色差控制水平在哪里 (●ˇ∀ˇ●)
飞利浦某款LED的产品说明书，按3阶麦克亚当圈分Bin。
冷知识
• 人的左眼和右眼对颜色的观察并不同步，双眼同时观察，会给色差判定结果带来波动。所以麦克亚当的实验采用的是单眼测试设备。
一个启发就是，下次判定色差样品的时候不妨闭上一只眼试试。
•
• 亮度的变化会带来色度的变化，所以麦克亚当的实验设计了一个非常复杂的设备，使得在调整色坐标的时候可以自动保持亮度基本不变。
同时，为了避免测试设备带来的系统误差，也颇费了一番功夫。
这个设备长这样o_o：
•
• 让我说点什么好。。。摊手。。。可见柯达当年还是相当牛（有钱）的。。。
• 过去对颜色宽容度的理解，是按"刚辩差"来理解的，也是按这个来研究的。也就是说，大家还以为会有一个明确的阈值来判定色差。结果却发现，这个阈值存在不可避免的波动。
由此才慢慢意识到，应该用统计学的眼光来看待这个问题。
最后，标准差代替了阈值，成为表述颜色宽容度的最佳方案。
（所以下次做色差样品判别的时候，应该多观察几次，多找几个人看看 (´・ω・`)
• 在麦克亚当的实验之前，虽然已经有人认识到，应该用统计学手段来研究颜色宽容度，但都没能拿出真正可靠的数据和结论。因为这需要大样本量的采样测试，数据越多越靠谱。完成这个实验需要调用的时间、资源、耐心和毅力，我光想想都觉得有点吓人。。。
最后，麦克亚当实验的主要测试者Perley G. Nutting 一共进行了约25000次观测。。。
这个数据来之不易，让我们谢谢他~比心♥~
今天就到这里，我们下次再见！
