二分图有关证明（感性版）

（初学绕路，名词都默认）

特别牛逼的konig：

　　二分图中，最大匹配==最小点集覆盖

　　基本记住这个就行了。

　　证明是构造性的，写出一个正确的算法，然后证明它执行完就得到了最小点集覆盖，并且等于匹配数。

　　算法：

1. 匈牙利
2. 从右边，从未配节点继续找增广路，肯定找不到，但找到了一个个V，W，VW，WW形的不完整增广路。
3. 将不完整增广路上的点都染黑色。
4. 取左边黑点，右边白点。

　　证明1：

　　要证这样取得的点数恰为匹配数。

　　证明点与匹配是一一对应的。

　　显然左边黑点都对应一条匹配边，且匹配边右侧也为黑色。

　　右边白点向左连的边一定有一条匹配边且不能构成V字路， 左侧为白色。

 　　（即把匹配边分成两类，属于V字路，不属于V字路，属于的染左边，不属于染右边）

　　证明2：

　　要证覆盖了所有边。

　　把边分两类：

　　匹配边，再分两类，都一定覆盖了。

　　未配边，也分两类，都一定覆盖了。

　　证明3：

　　M即是最小覆盖。

　　废话。

　　

　　证毕

 

　　（也可以直接用对偶定理）

推论：最大独立集 = G - 匹配数

　　夹挤。

　　小于等于G - 匹配，匹配两个只能选一个。

　　大于等于G - 匹配，最小覆盖的补集是独立集。

PS：最小路径覆盖 = G - 匹配数 右侧（还是左侧。。）反正未配点都是终点