L0/L1/L2范数的联系与区别

范数(norm)

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数学中的一种基本概念。在泛函分析中，它定义在赋范线性空间中，并满足一定的条件，即①非负性；②齐次性；③三角不等式。它常常被用来度量某个向量空间（或矩阵）中的每个向量的长度或大小。

这里简单地介绍以下几种向量范数的定义和含义 

1、 L-P范数 

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与闵可夫斯基距离的定义一样，L-P范数不是一个范数，而是一组范数，其定义如下： 

 

根据P 的变化，范数也有着不同的变化，一个经典的有关P范数的变化图如下： 

 

上图表示了p从无穷到0变化时，三维空间中到原点的距离（范数）为1的点构成的图形的变化情况。以常见的L-2范数（p=2）为例，此时的范数也即欧氏距离，空间中到原点的欧氏距离为1的点构成了一个球面。
实际上，在0时，Lp并不满足三角不等式的性质，也就不是严格意义下的范数。以p=0.5，二维坐标(1,4)、(4,1)、(1,9)为例，。因此这里的L-P范数只是一个概念上的宽泛说法。

2、L0范数 

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当P=0时，也就是L0范数，由上面可知，L0范数并不是一个真正的范数，它主要被用来度量向量中非零元素的个数。用上面的L-P定义可以得到的L-0的定义为： 

 

这里就有点问题了，我们知道非零元素的零次方为1，但零的零次方，非零数开零次方都是什么鬼，很不好说明L0的意义，所以在通常情况下，大家都用的是： 

表示向量x中非零元素的个数。
对于L0范数，其优化问题为： 

在实际应用中，由于L0范数本身不容易有一个好的数学表示形式，给出上面问题的形式化表示是一个很难的问题，故被人认为是一个NP难问题。所以在实际情况中，L0的最优问题会被放宽到L1或L2下的最优化。

3、L1范数 

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L1范数是我们经常见到的一种范数，它的定义如下： 

 

表示向量中非零元素的绝对值之和。
L1范数有很多的名字，例如我们熟悉的曼哈顿距离、最小绝对误差等。使用L1范数可以度量两个向量间的差异，如绝对误差和（Sum of Absolute Difference）： 

对于L1范数，它的优化问题如下： 

 

由于L1范数的天然性质，对L1优化的解是一个稀疏解，因此L1范数也被叫做稀疏规则算子。通过L1可以实现特征的稀疏，去掉一些没有信息的特征，例如在对用户的电影爱好做分类的时候，用户有100个特征，可能只有十几个特征是对分类有用的，大部分特征如身高体重等可能都是无用的，利用L1范数就可以过滤掉。

4、L2范数

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L2范数是我们最常见最常用的范数了，我们用的最多的度量距离欧氏距离就是一种L2范数，它的定义如下： 

 

表示向量元素的平方和再开平方。 
像L1范数一样，L2也可以度量两个向量间的差异，如平方差和（Sum of Squared Difference）: 

对于L2范数，它的优化问题如下： 

 

L2范数通常会被用来做优化目标函数的正则化项，防止模型为了迎合训练集而过于复杂造成过拟合的情况，从而提高模型的泛化能力。

5、范数

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当时，也就是范数，它主要被用来度量向量元素的最大值，与L0一样，通常情况下表示为

 来表示