最小生成树算法
最小生成树介绍：
修路问题本质就是最小生成树问题，先介绍一下最小生成树（Minimum Cost Spanning Tree），简称MST。
1）给定一个带权的无向连通图，如何选择一颗生成树，使树上所有边上权的总和为最小，这叫最小生成树。
2）N个顶点，一定有N-1条边
3）包含全部顶点
4）N-1条边都在图中
5）求最小生成树的算法主要是Prim算法和Kruskal算法
Prim算法
应用场景---修路问题
正确思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，从而保证总里程数最小
Prim算法介绍：
1）Prim算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有（n-1）条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图
2）Prim算法如下：
（1）设G = （V，E）是连通网，T = （U，D）是最小生成树，V，U是顶点集合，E、D是边的集合
（2）若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u] = 1
（3）若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui，vj）加入集合D中，标记visited[vj] = 1
（4）重复步骤2），直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边
给个例题理解一下：
1 问题描述 2 3 2015年，全中国实现了户户通电。作为一名电力建设者，小明正在帮助一带一路上的国家通电。 4 这一次，小明要帮助 n 个村庄通电，其中 1 号村庄正好可以建立一个发电站，所发的电足够所有村庄使用。 5 现在，这 n 个村庄之间都没有电线相连，小明主要要做的是架设电线连接这些村庄，使得所有村庄都直接或间接的与发电站相通。 6 小明测量了所有村庄的位置（坐标）和高度，如果要连接两个村庄，小明需要花费两个村庄之间的坐标距离加上高度差的平方，形式化描述为坐标为 (x_1, y_1) 高度为 h_1 的村庄与坐标为 (x_2, y_2) 高度为 h_2 的村庄之间连接的费用为 7 sqrt((x_1-x_2)(x_1-x_2)+(y_1-y_2)(y_1-y_2))+(h_1-h_2)*(h_1-h_2)。 8 在上式中 sqrt 表示取括号内的平方根。请注意括号的位置，高度的计算方式与横纵坐标的计算方式不同。 9 由于经费有限，请帮助小明计算他至少要花费多少费用才能使这 n 个村庄都通电。 10 11 输入格式 12 13 输入的第一行包含一个整数 n ，表示村庄的数量。 14 接下来 n 行，每个三个整数 x, y, h，分别表示一个村庄的横、纵坐标和高度，其中第一个村庄可以建立发电站。 15 16 输出格式 17 18 输出一行，包含一个实数，四舍五入保留 2 位小数，表示答案。 19 20 样例输入 21 22 4 23 1 1 3 24 9 9 7 25 8 8 6 26 4 5 4 27 28 样例输出 29 30 17.41 31 32 评测用例规模与约定 33 34 对于 30% 的评测用例，1 <= n <= 10； 35 对于 60% 的评测用例，1 <= n <= 100； 36 对于所有评测用例，1 <= n <= 1000，0 <= x, y, h <= 10000。
1 import java.util.Scanner; 2 3 public class Main { 4 static class Node { 5 int x; 6 int y; 7 int h; 8 } 9 10 public static void main(String[] args) { 11 //输入 12 Node[] nodes = new Node[1002]; 13 14 Scanner sc = new Scanner(System.in); 15 int n = sc.nextInt(); 16 for (int i = 1; i <= n; i++) { 17 nodes[i]=new Node(); 18 nodes[i].x = sc.nextInt(); 19 nodes[i].y = sc.nextInt(); 20 nodes[i].h = sc.nextInt(); 21 } 22 sc.close(); 23 //初始化数组 24 double[][] map = new double[n + 2][n + 2]; 25 double[] mins = new double[n + 2]; //这个最后是用来保存最小值的 26 double MAX = 0x7f7f7f7f; 27 for (int i = 0; i <= n+1; i++) { 28 for (int j = 0; j <=n+1; j++) { 29 30 31 map[i][j]=MAX; 32 33 } 34 mins[i] = MAX; 35 } 36 //先找到每个值的最短路 37 38 for (int i = 1; i <= n-1; i++) { 39 for (int j = i + 1; j <= n; j++) { 40 double x = (nodes[i].x - nodes[j].x) * (nodes[i].x - nodes[j].x); 41 double y = (nodes[i].y - nodes[j].y) * (nodes[i].y - nodes[j].y); 42 double h = (nodes[i].h - nodes[j].h) * (nodes[i].h - nodes[j].h); 43 double temp=Math.sqrt(x+y)+h; 44 map[i][j]=Math.min(map[i][j],temp ); 45 map[j][i]=map[i][j]; 46 } 47 } 48 //然后图算法公式 49 boolean[] vis = new boolean[n+2]; 50 mins[1]=0; 51 for (int i = 1; i <n; i++) { 52 int tempX=0; 53 for (int j = 1; j <=n; j++) { 54 if(!vis[j] &&(tempX==0|| mins[j]<mins[tempX])){ 55 tempX=j; 56 } 57 } 58 vis[tempX]=true; 59 for (int j = 1; j <=n; j++) { 60 if(!vis[j]){ 61 mins[j]=Math.min(mins[j], map[tempX][j]); 62 } 63 } 64 } 65 double result=0.0; 66 for (int i = 2; i <=n; i++) { 67 result+=mins[i]; 68 } 69 System.out.println(result); 70 } 71 72 }
Kruskal算法
应用场景---公交站问题
Kruskal算法介绍：
1）是用来求加权连通图的最小生成树算法
2）基本思想：按照权值从小到大的顺序选择n-1条边，并保证这n-1条边不构成回路
3）具体做法：首先 构造一个只含n个顶点的森林，然后依权值从小到大从连通网中选择边加入到森林中，并使森林中不产生回路，直至森林变成一棵树为止
Kruskal算法重点需要解决的两个问题：
问题一 对图的所有边按照权值大小进行排序
问题二 将边添加到最小生成树中时，怎么样判断是否形成了回路
问题一很好解决，采用排序算法进行排序即可
问题二，处理方式是：记录顶点在“最小生成树”中的终点，顶点的终点是“在最小生成树中与它连通的最大顶点”。然后每次需要将一条边添加到最小生成树时，判断该边的两个顶点的终点是否重合，重合的话则会构成回路。
关于终点的说明：
1） 就是将所有顶点按照从小到大的顺序排列（单纯指的就是顶点的大小）好之后，某个顶点的终点就是“与它连通的最大顶点”。
2） 判断回路的方式。我们加入的边的两个顶点不能都指向同一个终点，否则将构成回路。
下面的“边”类仅供参考。
1 //该类EData 的对象实例就表示一条边 2 class EData{ 3 char start;//边的一个点 4 char end;//边的另外一个点 5 int weight;//边的权值 6 public EData(char start,char end,int weight){ 7 this.start = start; 8 this.end = end; 9 this.weight = weight; 10 } 11 12 //重写 toString ，便于输出 13 public String toString(){ 14 return "EData[<"+start+","+end+"> = "+weight+"]"; 15 } 16 }
