敲黑板，定积分也有换元和分部积分法

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今天是高等数学的第14篇文章，我们一起来看看定积分的换元法和分部积分法。

我们之前在不定积分的内容当中曾经介绍过换元法和分部积分法这两种求解不定积分的方法，今天我们来探索将这两种方法应用在定积分上。有一点需要注意，虽然不定积分和定积分只有一字之差，但是在数学上其实它们是两个完全不同的概念。不定积分求解的是函数的原函数，而定积分则是求解的曲形的面积，也就是一个具体的值。

我们用Python来举例的话，不定积分有些像是高阶函数，我们传入一个函数，得到一个函数。而定积分则就是一个计算的函数，我们传入一个函数，得到一个值。由于有了牛顿-莱布尼茨公式，我们求解定积分的时候也需要求解原函数，但这只是计算过程相似，并不是它的定义。所以不要把两者弄混淆了。

换元法

在我们写出换元法的公式之前，我们先写清楚它的作用区间。这个是数学的惯例，我们写一个公式或者是定理或者是式子，都需要标明适用范围。我们假设函数f(x)在区间[a, b]上连续。

函数$x=\phi(t)$满足：

1. $\phi(\alpha) = a, \phi(\beta) = b$
2. $\phi(t)$在区间$[\alpha, \beta]$，或者$[\beta, \alpha]$上具有连续导数，值域是[a, b]，那么：

$$\int_a^bf(x)dx = \int_\alpha^\beta f[\phi(t)]\phi'(t)dt$$

这个式子成立非常明显，但为了严谨，我们还是来证明一遍。

等式的左边很简单就是我们常见的积分函数，我们假设f(x)在区间[a, b]上的原函数是F(x)，那么等式左边根据牛顿-莱布尼茨公式，可以得到：

$$\int_a^b f(x)dx = F(b) - F(a)$$

所以我们重点关注的是等式右边，等式右边也做类似处理，我们假设$\Phi(t) = F(\phi(t))$。

我们对$\Phi(t)$求导，可以得到：

$$\Phi'(t) = \frac{dF}{d\phi}\cdot \frac{d\phi}{dt} = f(x)\cdot \phi'(t) = f[\phi(t)]\cdot \phi'(t)$$

通过求导我们可以发现，$\Phi(t)$是$f[\phi(t)]\cdot \phi'(t)$的原函数。所以：

$$\begin{aligned} \int_\alpha^\beta f[\phi(t)]\phi'(t)dt &= \Phi(\beta) - \Phi(\alpha)\\ &= F[\phi(\beta)] - F[\phi(\alpha)] \\ &= F(b) - F(a) \end{aligned}$$

所以我们就证明完了，整个证明过程并不难，比较困难的点在于我们在处理等式右边的时候是怎么想到令$\Phi(t) = F(\phi(t))$的呢？这是一个非常巧妙的点。想到这个不太容易，如果是我从头开始证明，我可能会往$\phi(t)$的原函数上想，估计不太容易想到将F(x)引入进来。

我们理解了换元求解定积分的方法之后，我们一起来看一道例题来熟悉一下。这个例题还是经典的三角换元：

$$\int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}dx \quad (a>0)$$

我们很容易想到我们可以令$x = a\sin t$，这样的话$dx = a\cos t dt$。当x=0时，t=0，当x=a时，t=$\frac{\pi}{2}$，我们代入原式可以得到：

$$\begin{aligned} \int_0^a \sqrt{a^2 - x^2}dx &= a^2 \int_0^\frac{\pi}{2} \cos ^2 tdt \\ &= \frac{a^2}{2}\int_0^\frac{\pi}{2} (1 + \cos 2t)dt \\ &= \frac{a^2}{2}[t + \frac{1}{2}\sin 2t]_0 ^\frac{\pi}{2}\\ &= \frac{\pi a^2}{4} \end{aligned}$$

明白了原理之后，我们也可以将换元公式反过来用。也就是说当我们凑到$t = \phi(x)$的情况时，也一样可以使用换元公式。

我们再来看一个例子：

$$\int_0^\frac{\pi}{2}\cos ^5 x \sin x dx$$

我们很容易凑到$t = \cos x$时，$dt = -\sin x dx$，当x=0时，t=1， 当x=$\frac{\pi}{2}$时，t=0。我们代入原式，可以得到：

$$\begin{aligned} \int_0^\frac{\pi}{2}\cos ^5 x \sin x dx &= -\int_1^0 t^5 dt\\ &= \int_0^1 t^5 dt = [\frac{t}{6}]_0^1 = \frac{1}{6} \end{aligned}$$

分部积分法

不定积分的分部积分法是根据求导公式推导得出的，它在定积分当中同样适用，我们只需要稍作变形就可以推导出来：

$$\begin{aligned} \int_a^b u(x)v'(x)dx &= [\int u(x)v'(x)dx]_a^b\\ &= [u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)dx]_a^b\\ &= [u(x)v(x)]_a^b - \int_a^b v(x)u'(x) dx \end{aligned}$$

我们把上面的式子可以简写成：$\int_a^b uv' dx = [uv]_a^b - \int_a^b vu' dx$

来看个例子：$\int_0^\pi x\cos x dx$

我们令u = x, dv = $\cos x$，那么v = $\sin x$，我们代入就可以得到：

$$\begin{aligned} \int_0^\pi x\cos x dx &= [x \sin x]_0^\pi - \int_0^\pi \sin x dx \\ &= 0 + [\cos x]_0^\pi \\ &= -2 \end{aligned}$$

和不定积分一样，分部积分法和换元法可以结合使用，得到更强大的效果。我们来看个例子： $$\int_0^1 e^{\sqrt{x}} dx$$

我们令$t = \sqrt{x}$，于是$x = t^2, dx = 2tdt$，并且当x=0时，t=0，当x=1时，t=1。我们代入可得：

$$\int_0^1 e^{\sqrt{x}} dx = 2\int_0^1 t e^t dt = 2\int_0^1 td(e^t)$$

我们使用分部积分法，令u=t, dv = $e^t$，所以$v = e^t$，代入可以得到：

$$\begin{aligned} 2\int_0^1 td(e^t) &= 2([te^t]_0^1 - \int_0^1 e^t dt) \\ &= 2(e - e + 1) = 2 \end{aligned}$$

总结

换元法和分部积分法是求解定积分和不定积分的两大最重要的方法，这两个方法说起来容易，理解起来也不难，但是很容易遗忘。尤其是我们长时间不使用的情况下，经常会忘记，而在用的时候又经常会想不起来，典型的书到用时方恨少问题。所以我们经常拿出来复习回顾一下，还是很有必要的。

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