高等数学——手撕牛顿莱布尼茨公式

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今天是高等数学专题的第13篇文章，我们来看看定积分究竟应该怎么计算。

定积分的实际意义

通过之前的文章，我们基本上熟悉了定积分这个概念和它的一些简单性质，今天终于到了正题，我们要试着来算一算这个积分了。

我们先来回忆一下对定积分的直观感受，它可以代表一段曲形面积，比如：

如果我们把上图当中的f(x)看成是速度函数，x轴看成是时间，那么f(x)就表示时刻x时物体运动的速度。那么我们把所有瞬时移动的距离累加，就得到了物体在某个时间段内的位移矢量，而这个位移长度恰好就是我们曲形的面积。我们把定积分和物理上的位移进行挂钩之后，很容易得出一个结论，在物理学上，一个物体发生的位移和时间也是一一映射的关系，所以这也是一个函数。

有了这个结论之后，我们就可以做一个假设，假设一个函数s(t)满足：

s (t) = \int_{a}^{t} f (t) d t

$s(t) = \int_a^t f(t)dt$

其中的a是一个定值，我们可以认为是位移发生的起始时刻，s(t)就是物体位移和时间的函数。所以a到b这段时间内发生的位移就等于 $s(b) - s(a) = \int_a^b f(t)dt$ .

计算推导

当我们把定积分和物理位移挂钩的时候，我们距离求解它已经很接近了。

根据物理上的定义，物体的运动速度其实就等于位置矢量随时间的变化率，虽然不够严谨，但其实这是一个微分量，可以近似看成是位移函数的导数。当然这个只是直观的认识，我们还需要用严谨的数学语言来表达。

我们假设f(x)函数在区间[a, b]上连续，并且 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt, (a \leq x \leq b)$ ，我们试着证明 $\Phi'(x) = f(x)$ 。

我们取一个绝对值足够小的 $\Delta x$ ，使得 $x + \Delta x \in (a, b)$ ，那么：

Φ (x + Δ x) = \int_{a}^{x + Δ x} f (t) d t

$\Phi(x + \Delta x) = \int_a^{x+\Delta x}f(t)dt$

我们用它减去 $\Phi(x)$ ，得到：

\begin{aligned} Δ Φ & = Φ (x + Δ x) - Φ (x) \\ = \int_{a}^{x + Δ x} f (t) d t - \int_{a}^{x} f (t) d t \\ = \int_{x}^{x + Δ x} f (t) d t \end{aligned}

$\begin{aligned} \Delta \Phi &= \Phi(x+\Delta x) - \Phi(x) \\ &= \int_a^{x+\Delta x} f(t)dt - \int_a^x f(t)dt\\ &= \int_x^{x+\Delta x}f(t)dt \end{aligned}$

根据我们积分中值定理，可以得到，存在 $\xi \in (x, x+\Delta x)$ ，使得：

\begin{aligned} Δ Φ & = f (ξ) Δ x \\ \frac{Δ Φ}{Δ x} & = f (ξ) \end{aligned}

$\begin{aligned} \Delta \Phi &= f(\xi) \Delta x\\ \frac{\Delta \Phi}{\Delta x} &= f(\xi) \end{aligned}$

由于f(x)在[a, b]上连续，并且 $\Delta x\to 0$ ，所以 $\xi \to x$ ，因此 $\lim_{\Delta x \to 0} f(\xi) = f(x)$ ，进一步就证明了 $\Phi(x)$ 的导数存在，并且：

Φ^{'} (x) = f (x)

$\Phi'(x) = f(x)$

到这里已经距离我们的目标非常接近了，只差最后一步。这最重要的一步有两个数学大牛对它声明主权，一个是牛顿，另一个是莱布尼茨。这也是数学界一桩非常出名的公案，这背后的故事背景非常复杂，属于典型的公说公有理婆说婆有理的桥段。有一部著名的纪录片叫做《一部微积分的恩怨史》讲的就是这一段故事，感兴趣的同学可以去B站围观一下。

为了避免引战，很多课本上都把它叫做牛顿-莱布尼茨公式，用两个人的名字共同命名。

牛顿-莱布尼茨公式

根据原函数的定义，从上面的结论当中我们可以得到 $\Phi(x)$ 是函数 $f(x)$ 在[a, b]上的一个原函数。我们假设F(x)也是f(x)的一个原函数，所以我们可以知道 $F(x) - \Phi(x) = C$ ，这里的C是一个常数。

令x = a，那么可以得到 $F(a) - \Phi(a) = C$ ，根据 $\Phi(x)$ 的定义，我们可以知道 $\Phi(a) = 0$ ，所以 $F(a) = C$ ，并且 $\Phi(x) = \int_a^x f(t)dt$ ，代入可以得到：

\begin{aligned} F (x) - Φ (x) & = C \\ F (x) - \int_{a}^{x} f (t) d t & = F (a) \\ \int_{a}^{x} f (t) d t & = F (x) - F (a) \end{aligned}

$\begin{aligned} F(x) - \Phi(x) &= C\\ F(x) - \int_a^x f(t)dt &= F(a)\\ \int_a^x f(t)dt &= F(x) - F(a) \end{aligned}$

我们把b代入，可以得到 $\int_a^x f(x)dx = F(b) - F(a)$ ，这个式子就是牛顿莱布尼茨公式。

我们回顾一下上面的推导过程，难度并不大，但是几个代换处理非常巧妙，不然的话即使我们可以得到结论，也并不严谨。

总结

有了定积分的计算公式之后，很多我们之前无法解决的问题就都可以解决了，由此奠定了整个微积分的基础，不仅推动了数学的发展，也带动了理工科几乎所有的学科。在各大理工学科之中几乎都有用到微积分进行一些复杂的计算，即使是看起来和数学不那么相关的计算机领域也不例外，这也是大学里为什么给所有理工科的学生开设了这门课的原因。

但遗憾的是，在我们学习的时候往往很难预见它的重要性，然而当我们预见这一点的时候，往往已经是很多年之后，没有那样的环境和时间给我们去好好学习了。

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