高等数学——导数的定义和常见导数

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导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。

函数切线

关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。

比如当下， 我们有一个光滑的函数曲线$y=f(x)$，我们想要求出这个曲线在某个点$M$的切线，那么应该怎么操作呢？

如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，$\angle NMT$在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。

在图中，MN的斜率表示为$\tan\phi$，其中$\tan\phi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$.

当N逼近于M时：

$$\displaystyle\tan\phi= \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

我们令$\Delta x = x - x_0$，所以：

$$\displaystyle\tan\phi=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

此时$\tan\phi$的结果就是函数在$x_0$处导数的值，上面这个方法大家应该也都不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为换元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。

定义

假设函数$y=f(x)$在点$x_0$处的邻域内有定义，当自变量$x$在$x_0$处取得增量$\Delta x$($x_0 + \Delta x$仍然在$x_0$的邻域内)，相应的函数取得增量$\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)$。如果$\frac{\Delta y}{\Delta x}$在$\Delta x \to 0$时的极限存在，称为函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导。它的导数写成$f'(x_0)$

$$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x}$$

$f'(x_0)$也可以记成$\displaystyle\frac{dy}{dx}$，或者$\displaystyle\frac{df(x)}{dx}$。

如果函数$y=f(x)$在开区间$I$内可导，说明对于任意$x \in I$，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数$f(x)$的导函数，记作$f'(x)$。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果$\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=a$。那么，对于某个正数$\epsilon$，对于任何正数$\delta$，都有$0 < |x - x_0| < \delta$时，$|f(x) - a| \geq \epsilon$。那么就称为$x \to x_0$时，$f(x)$的极限是a。

我们对上面的式子进行变形，可以得到，当$\Delta x \to 0$时:

$$\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0-\Delta x)=f(x_0 + \Delta x) = a$$

也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近$x_0$还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数$f(x)$在$x_0$点可导的充分必要条件就是，函数在$x_0$处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。

另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。

根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是$\frac{\Delta y}{\Delta x}$在$\Delta x \to 0$时存在。即：

$$\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x)$$

我们把极限符号去掉：

$$\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) + a$$

这里的a是$\Delta \to 0$时的无穷小，我们队上式两边同时乘上$\Delta x$，可以得到：

$$\Delta y=f'(x)\Delta x + a\Delta x$$

由于$a和\Delta x$都是无穷小，并且$f'(x)$存在，所以$\Delta y$也是无穷小。而连续的定义就是当$\Delta x \to 0$时，$\Delta y$也趋向于0.

反例

我们来举一个反例：

$$f(x) = |x|$$

它的函数图像长这样：

我们试着来证明：$f(x)$在$x=0$处不可导。

$$\begin{aligned} f'_\_(0)&=\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \\ f'_+(0)&=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \end{aligned}$$

由于$f(x)$在$x=0$处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以$f(x)$在$x=0$处不可导。

常见函数的导数

我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。

1. $f(x)=C$，C是常数。$f'(x)=0$
2. $f(x)=x^n$, $f'(x)=nx^{n-1}$
3. $f(x)=\sin x$，$f'(x)=\cos x$
4. $f(x)=\cos x$，$f'(x)=-\sin x$
5. $f(x)=a^x$， $f'(x)=a^x\ln a$
6. $f(x)=\log_ax$，$f'(x)=\frac{1}{x\ln a}, (a > 0, a \neq 0)$
7. $f(x)=\ln x$， $f'(x)=\frac{1}{x}$

当然我们实际运用当中遇到的当然不只是简单的函数，很多函数往往非常复杂。那么对于这些复杂的函数，我们又应该怎么来计算它们的导数呢？敬请期待我们下一篇的内容。

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