高等数学——导数的定义和常见导数

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导数是微积分也是高数当中很重要的一个部分，不过很遗憾的是，和导数相关的部分很多同学都是高中的时候学的。经过了这么多年，可能都差不多还给老师了。所以今天的文章就一起来温习一下导数的相关知识，捡一捡之前忘记的内容。

函数切线

关于导数，最经典的解释可能就是切线模型了。以前高中的时候，经常对二次函数求切线，后来学了微积分之后明白了，所谓的求切线其实就是求导。

比如当下， 我们有一个光滑的函数曲线\(y=f(x)\)，我们想要求出这个曲线在某个点\(M\)的切线，那么应该怎么操作呢？

如上图所示，我们可以在选择另外一个点N，然后做MN的割线。假设T是M的真实的切线，当我们将N向M无限逼近的时候，\(\angle NMT\)在无限缩小，直到趋近与0，而此时的割线MN也就无限逼近于M点真实的切线T。

在图中，MN的斜率表示为\(\tan\phi\)，其中\(\tan\phi=\frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}\).

当N逼近于M时：

\[\displaystyle\tan\phi= \lim_{x \to x_0}\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0} \]

我们令\(\Delta x = x - x_0\)，所以：

\[\displaystyle\tan\phi=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

此时\(\tan\phi\)的结果就是函数在\(x_0\)处导数的值，上面这个方法大家应该也都不陌生，在物理课上就经常见到，只不过在物理当中不叫极限也不叫逼近，称为换元法。但不管叫什么，意思是一样的。我们理解了上面这些式子之后，再来看看导数真正的定义。

定义

假设函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处的邻域内有定义，当自变量\(x\)在\(x_0\)处取得增量\(\Delta x\)(\(x_0 + \Delta x\)仍然在\(x_0\)的邻域内)，相应的函数取得增量\(\Delta y=f(x_0+\Delta x) - f(x_0)\)。如果\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)在\(\Delta x \to 0\)时的极限存在，称为函数\(y=f(x)\)在点\(x_0\)处可导。它的导数写成\(f'(x_0)\)

\[\displaystyle f'(x_0)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \]

\(f'(x_0)\)也可以记成\(\displaystyle\frac{dy}{dx}\)，或者\(\displaystyle\frac{df(x)}{dx}\)。

如果函数\(y=f(x)\)在开区间\(I\)内可导，说明对于任意\(x \in I\)，都存在一个确定的导数值。所以我们就得到了一个新的函数，这个函数称为是原函数\(f(x)\)的导函数，记作\(f'(x)\)。

不可导的情况

介绍完了常见函数的导函数之后，我们来看下导数不存在的情况。

导数的本质是极限，根据极限的定义，如果\(\displaystyle\lim_{x \to x_0}f(x)=a\)。那么，对于某个正数\(\epsilon\)，对于任何正数\(\delta\)，都有\(0 < |x - x_0| < \delta\)时，\(|f(x) - a| \geq \epsilon\)。那么就称为\(x \to x_0\)时，\(f(x)\)的极限是a。

我们对上面的式子进行变形，可以得到，当\(\Delta x \to 0\)时:

\[\displaystyle\lim_{\Delta x \to 0}f(x_0-\Delta x)=f(x_0 + \Delta x) = a \]

也就是说极限存在的条件是无论自变量从左边逼近\(x_0\)还是右边逼近，它们的极限都存在并且相等。所以，函数\(f(x)\)在\(x_0\)点可导的充分必要条件就是，函数在\(x_0\)处的左右两侧的导数都必须存在，并且相等。

另一种不可导的情况是不连续，不连续的函数一定不可导。这一点其实很难证明，我们可以来证明它的逆否命题：可导的函数一定连续。

根据导数的定义，一个点的导数存在的定义就是\(\frac{\Delta y}{\Delta x}\)在\(\Delta x \to 0\)时存在。即：

\[\displaystyle\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) \]

我们把极限符号去掉：

\[\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x) + a \]

这里的a是\(\Delta \to 0\)时的无穷小，我们队上式两边同时乘上\(\Delta x\)，可以得到：

\[\Delta y=f'(x)\Delta x + a\Delta x \]

由于\(a和\Delta x\)都是无穷小，并且\(f'(x)\)存在，所以\(\Delta y\)也是无穷小。而连续的定义就是当\(\Delta x \to 0\)时，\(\Delta y\)也趋向于0.

反例

我们来举一个反例：

\[f(x) = |x| \]

它的函数图像长这样：

我们试着来证明：\(f(x)\)在\(x=0\)处不可导。

\[\begin{aligned} f'_\_(0)&=\frac{|\Delta x|}{\Delta x}=-1 \\ f'_+(0)&=\frac{\Delta x}{\Delta x}=1 \end{aligned} \]

由于\(f(x)\)在\(x=0\)处的左右导数不等，和极限存在的性质矛盾，所以\(f(x)\)在\(x=0\)处不可导。

常见函数的导数

我们再来看一下常见函数的导函数，其实我们了解了导数的定义之后，我们完全可以根据导函数的定义自己推算。但说实话，这些推算意思不大，所以我们直接跳过推算的部分，直接来看结论。

1. \(f(x)=C\)，C是常数。\(f'(x)=0\)
2. \(f(x)=x^n\), \(f'(x)=nx^{n-1}\)
3. \(f(x)=\sin x\)，\(f'(x)=\cos x\)
4. \(f(x)=\cos x\)，\(f'(x)=-\sin x\)
5. \(f(x)=a^x\)， \(f'(x)=a^x\ln a\)
6. \(f(x)=\log_ax\)，\(f'(x)=\frac{1}{x\ln a}, (a > 0, a \neq 0)\)
7. \(f(x)=\ln x\)， \(f'(x)=\frac{1}{x}\)

当然我们实际运用当中遇到的当然不只是简单的函数，很多函数往往非常复杂。那么对于这些复杂的函数，我们又应该怎么来计算它们的导数呢？敬请期待我们下一篇的内容。

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