拓端数据tecdat|R语言广义相加模型 (GAMs)分析预测CO2时间序列数据
原文链接:http://tecdat.cn/?p=20904
环境科学中的许多数据不适合简单的线性模型,最好用广义相加模型(GAM)来描述。
这基本上就是具有 光滑函数的广义线性模型(GLM)的扩展 。当然,当您使用光滑项拟合模型时,可能会发生许多复杂的事情,但是您只需要了解基本原理即可。
理论
让我们从高斯线性模型的方程开始 :
GAM中发生的变化是存在光滑项:
这仅意味着对线性预测变量的贡献现在是函数f。从概念上讲,这与使用二次项()或三次项(
)作为预测变量没什么不同。
在这里,我们将重点放在样条曲线上。在过去,它可能类似于分段线性函数。
例如,您可以在模型中包含线性项和光滑项的组合
或者我们可以拟合广义分布和随机效应
一个简单的例子
让我们尝试一个简单的例子。首先,让我们创建一个数据框,并创建一些具有明显非线性趋势的模拟数据,并比较一些模型对该数据的拟合程度。
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x <- seq(0, pi * 2, 0.1)
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sin_x <- sin(x)
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y <- sin_x + rnorm(n = length(x), mean = 0, sd = sd(sin_x / 2))
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Sample <- data.frame(y,x)
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library(ggplot2)
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ggplot(Sample, aes(x, y)) + geom_point()
尝试拟合普通的线性模型:
lm_y <- lm(y ~ x, data = Sample)
并使用geom_smooth
in 绘制带有数据的拟合线 ggplot
ggplot(Sample, aes(x, y)) + geom_point() + geom_smooth(method = lm)
查看图或 summary(lm_y)
,您可能会认为模型拟合得很好,但请查看残差图
plot(lm_y, which = 1)
显然,残差未均匀分布在x的值上,因此我们需要考虑一个更好的模型。
运行分析
在R中运行GAM。
要运行GAM,我们使用:
gam_y <- gam(y ~ s(x), method = "REML")
要提取拟合值,我们可以predict
:
predict(gam_y, data.frame(x = x_new))
但是对于简单的模型,我们还可以利用中的 method =
参数来 geom_smooth
指定模型公式。
您可以看到该模型更适合数据,检查诊断信息。
check.gam
快速简便地查看残差图。
gam.check(gam_y)
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##
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## Method: REML Optimizer: outer newton
-
## full convergence after 6 iterations.
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## Gradient range [-2.37327e-09,1.17425e-09]
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## (score 44.14634 & scale 0.174973).
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## Hessian positive definite, eigenvalue range [1.75327,30.69703].
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## Model rank = 10 / 10
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##
-
## Basis dimension (k) checking results. Low p-value (k-index<1) may
-
## indicate that k is too low, especially if edf is close to k'.
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##
-
## k' edf k-index p-value
-
## s(x) 9.00 5.76 1.19 0.9
对模型对象使用summary将为您提供光滑项(以及任何参数项)的意义,以及解释的方差。在这个例子中,非常合适。“edf”是估计的自由度——本质上,数量越大,拟合模型就越摇摆。大约为1的值趋向于接近线性项。
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##
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## Family: gaussian
-
## Link function: identity
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##
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## Formula:
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## y ~ s(x)
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##
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## Parametric coefficients:
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## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
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## (Intercept) -0.01608 0.05270 -0.305 0.761
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##
-
## Approximate significance of smooth terms:
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## edf Ref.df F p-value
-
## s(x) 5.76 6.915 23.38 <2e-16 ***
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## ---
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## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
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##
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## R-sq.(adj) = 0.722 Deviance explained = 74.8%
-
## -REML = 44.146 Scale est. = 0.17497 n = 63
光滑函数项
如上所述,我们将重点介绍样条曲线,因为样条曲线是最常实现的光滑函数(非常快速且稳定)。那么,当我们指定s(x)
时实际发生了什么 ?
好吧,这就是我们说要把y拟合为x个函数集的线性函数的地方。默认输入为薄板回归样条-您可能会看到的常见样条是三次回归样条。三次回归样条曲线具有 我们在谈论样条曲线时想到的传统 结点–在这种情况下,它们均匀分布在协变量范围内。
基函数
我们将从拟合模型开始,记住光滑项是一些函数的和,
首先,我们提取基本函数集 (即光滑项的bj(xj)部分)。然后我们可以画出第一和第二基函数。
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model_matrix <- predict(gam_y, type = "lpmatrix")
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plot(y ~ x)
现在,让我们绘制所有基函数的图,然后再将其添加到GAM(y_pred
)的预测中。
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matplot(x, model_matrix[,-1], type = "l", lty = 2, add = T)
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lines(y_pred ~ x_new, col = "red", lwd = 2)
现在,最容易想到这样-每条虚线都代表一个函数(bj),据此 gam
估算系数(βj),将它们相加即可得出对应的f(x)的贡献(即先前的等式)。对于此示例而言,它很好且简单,因为我们仅根据光滑项对y进行建模,因此它是相当相关的。顺便说一句,您也可以只使用 plot.gam
绘制光滑项。
好的,现在让我们更详细地了解基函数的构造方式。您会看到函数的构造与因变量数据是分开的。为了证明这一点,我们将使用 smoothCon
。
x_sin_smooth <- smoothCon(s(x), data = data.frame(x), absorb.cons = TRUE)
现在证明您可以从基本函数和估计系数到拟合的光滑项。再次注意,这里简化了,因为模型只是一个光滑项。如果您有更多的项,我们需要将线性预测模型中的所有项相加。
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betas <- gam_y$coefficients
-
linear_pred <- model_matrix %*% betas
请看下面的图,记住这 X
是基函数的矩阵。
通过 gam.models
, smooth.terms
光滑模型类型的所有选项,基本函数的构造方式(惩罚等),我们可以指定的模型类型(随机效应,线性函数,交互作用)。
真实例子
我们查看一些CO2数据,为数据拟合几个GAM,以尝试区分年度内和年度间趋势。
首先加载数据 。
CO2 <- read.csv("co2.csv")
我们想首先查看年趋势,因此让我们将日期转换为连续的时间变量(采用子集进行可视化)。
CO2$time <- as.integer(as.Date(CO2$Date, format = "%d/%m/%Y"))
我们来绘制它,并考虑一个平稳的时间项。
我们为这些数据拟合GAM
它拟合具有单个光滑时间项的模型。我们可以查看以下预测值:
plot(CO2_time)
请注意光滑项如何减少到“普通”线性项的(edf为1)-这是惩罚回归样条曲线的优点。但如果我们检查一下模型,就会发现有些东西是混乱的。
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par(mfrow = c(2,2))
-
gam.check(CO2_time)
残差图的上升和下降模式看起来很奇怪-显然存在某种依赖关系结构(我们可能会猜测,这与年内波动有关)。让我们再试一次,并引入一种称为周期光滑项。
周期性光滑项fintrannual(month)由基函数组成,与我们已经看到的相同,只是样条曲线的端点被约束为相等,这在建模时是有意义的周期性(跨月/跨年)的变量。
现在,我们将看到 bs =
用于选择光滑器类型的k =
参数和用于选择结数的 参数,因为三次回归样条曲线具有固定的结数。我们使用12结,因为有12个月。
s(month, bs = 'cc', k = 12) + s(time)
让我们看一下拟合的光滑项:
从这两个光滑项来看,我们可以看到,月度光滑项检测到CO2浓度的月度上升和下降——从相对幅度(即月度波动与长期趋势)来看,我们可以看出消除时间序列成分是多么重要。让我们看看现在的模型诊断是怎样的:
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par(mfrow = c(2,2))
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gam.check(CO2_season_time)
好多了。让我们看一下季节性因素如何与整个长期趋势相对应。
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plot(CO2_season_time)
结果
从本质上讲,您可以将GAM的模型结果表示为任何其他线性模型,主要区别在于,对于光滑项,没有单一系数可供推断(即负、正、效应大小等)。因此,您需要依靠视觉上解释光滑项(例如从对plot(gam_model)的调用)或根据预测值进行推断。当然,你可以在模型中包含普通的线性项(无论是连续的还是分类的,甚至在方差分析类型的框架中),并像平常一样从中进行推断。事实上,GAM对于解释一个非线性现象通常是有用的,这个非线性现象并不直接引起人们的兴趣,但在推断其他变量时需要加以解释。
您可以通过plot
在拟合的gam模型上调用函数来绘制局部效果 ,还可以查看参数项,也可以使用 termplot
函数。您可以ggplot
像本教程前面所述那样使用 简单的模型,但是对于更复杂的模型,最好知道如何使用predict预测
数据 。
geom_line(aes(y = predicted_values)
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