拓端数据tecdat|R语言用多元ARMA,GARCH ,EWMA, ETS,随机波动率SV模型对金融时间序列数据建模

原文链接：http://tecdat.cn/?p=20015 

 

本文将说明单变量和多变量金融时间序列的不同模型，特别是条件均值和条件协方差矩阵、波动率的模型。

均值模型

本节探讨条件均值模型。

iid模型

我们从简单的iid模型开始。iid模型假定对数收益率xt为N维高斯时间序列：

均值和协方差矩阵的样本估计量分别是样本均值

和样本协方差矩阵

我们从生成数据开始，熟悉该过程并确保估计过程给出正确的结果（即完整性检查）。然后使用真实的市场数据并拟合不同的模型。

让我们生成合成iid数据并估算均值和协方差矩阵：

1.  
   # 生成综合收益数据
2.  
   X <- rmvnorm(n = T, mean = mu, sigma = Sigma)
3.  
   # 样本估计（样本均值和样本协方差矩阵）
4.  
   mu_sm <- colMeans(X)
5.  
   Sigma_scm <- cov(X)
6.  
    
7.  
   # 误差
8.  
   norm(mu_sm - mu, "2")
9.  
   #> [1] 2.44
10.  
    norm(Sigma_scm - Sigma, "F")
11.  
    #> [1] 70.79

现在，让我们针对不同数量的观测值T再做一次：

1.  
   # 首先生成所有数据
2.  
    
3.  
   X <- rmvnorm(n = T_max, mean = mu, sigma = Sigma)
4.  
    
5.  
   # 现在遍历样本的子集
6.  
    
7.  
   for (T_ in T_sweep) {
8.  
    
9.  
   # 样本估算
10.  
    mu_sm <- colMeans(X_)
11.  
    Sigma_scm <- cov(X_)
12.  
    # 计算误差
13.  
    error_mu_vs_T <- c(error_mu_vs_T, norm(mu_sm - mu, "2"))
14.  
    error_Sigma_vs_T <- c(error_Sigma_vs_T, norm(Sigma_scm - Sigma, "F"))
15.  
     
16.  
    # 绘图
17.  
    plot(T_sweep, error_mu_vs_T,
18.  
    main = "mu估计误差",

1.  
   plot(T_sweep, error_Sigma_vs_T
2.  
   main = "Sigma估计中的误差", ylab = "误差"

单变量ARMA模型

对数收益率xt上的ARMA（p，q）模型是

其中wt是均值为零且方差为σ2的白噪声序列。模型的参数是系数ϕi，θi和噪声方差σ2。

请注意，ARIMA（p，d，q）模型是时间差分为d阶的ARMA（p，q）模型。因此，如果我们用xt代替对数价格，那么先前的对数收益模型实际上就是ARIMA（p，1，q）模型，因为一旦对数价格差分，我们就获得对数收益。

rugarch生成数据 

我们将使用rugarch包  生成单变量ARMA数据，估计参数并进行预测。

首先，我们需要定义模型：

1.  
    
2.  
   #指定具有给定系数和参数的AR（1）模型
3.  
    
4.  
   #>
5.  
   #> *----------------------------------*
6.  
   #> * ARFIMA Model Spec *
7.  
   #> *----------------------------------*
8.  
   #> Conditional Mean Dynamics
9.  
   #> ------------------------------------
10.  
    #> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
11.  
    #> Include Mean : TRUE
12.  
    #>
13.  
    #> Conditional Distribution
14.  
    #> ------------------------------------
15.  
    #> Distribution : norm
16.  
    #> Includes Skew : FALSE
17.  
    #> Includes Shape : FALSE
18.  
    #> Includes Lambda : FALSE
19.  
     
20.  
     
21.  
    #> Level Fixed Include Estimate LB UB
22.  
    #> mu 0.01 1 1 0 NA NA
23.  
    #> ar1 -0.90 1 1 0 NA NA
24.  
    #> ma 0.00 0 0 0 NA NA
25.  
    #> arfima 0.00 0 0 0 NA NA
26.  
    #> archm 0.00 0 0 0 NA NA
27.  
    #> mxreg 0.00 0 0 0 NA NA
28.  
    #> sigma 0.20 1 1 0 NA NA
29.  
    #> alpha 0.00 0 0 0 NA NA
30.  
    #> beta 0.00 0 0 0 NA NA
31.  
    #> gamma 0.00 0 0 0 NA NA
32.  
    #> eta1 0.00 0 0 0 NA NA
33.  
    #> eta2 0.00 0 0 0 NA NA
34.  
    #> delta 0.00 0 0 0 NA NA
35.  
    #> lambda 0.00 0 0 0 NA NA
36.  
    #> vxreg 0.00 0 0 0 NA NA
37.  
    #> skew 0.00 0 0 0 NA NA
38.  
    #> shape 0.00 0 0 0 NA NA
39.  
    #> ghlambda 0.00 0 0 0 NA NA
40.  
    #> xi 0.00 0 0 0 NA NA
41.  
     
42.  
    fixed.pars
43.  
    #> $mu
44.  
    #> [1] 0.01
45.  
    #>
46.  
    #> $ar1
47.  
    #> [1] -0.9
48.  
    #>
49.  
    #> $sigma
50.  
    #> [1] 0.2
51.  
     
52.  
    true_params
53.  
    #> mu ar1 sigma
54.  
    #> 0.01 -0.90 0.20

然后，我们可以生成时间序列：

1.  
    
2.  
   # 模拟一条路径
3.  
    
4.  
   apath(spec, n.sim = T)
5.  
    
6.  
    
7.  
   # 转换为xts并绘图
8.  
   plot(synth_log_returns, main = "ARMA模型的对数收益率"
9.  
   plot(synth_log_prices, main = "ARMA模型的对数价格"

ARMA模型

现在，我们可以估计参数（我们已经知道）：

1.  
   # 指定AR（1）模型
2.  
   arfimaspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
3.  
    
4.  
   # 估计模型
5.  
    
6.  
   #> mu ar1 sigma
7.  
   #> 0.0083 -0.8887 0.1987
8.  
    
9.  
   #> mu ar1 sigma
10.  
    #> 0.01 -0.90 0.20
11.  
     
12.  
     

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：

1.  
   # 循环
2.  
    
3.  
   for (T_ in T_sweep) {
4.  
   estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(arma_fit))
5.  
   error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs(coef(arma_fit) - true_params)/true_params)
6.  
    
7.  
    
8.  
   # 绘图
9.  
   matplot(T_sweep, estim_coeffs_vs_T,
10.  
    main = "估计的ARMA系数", xlab = "T", ylab = "值",

1.  
   matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,
2.  
   main = "估计ARMA系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",

首先，真正的μ几乎为零，因此相对误差可能显得不稳定。在T = 800个样本之后，其他系数得到了很好的估计。

ARMA预测

为了进行健全性检查，我们现在将比较两个程序包 Forecast 和 rugarch的结果：

1.  
    
2.  
   # 指定具有给定系数和参数的AR（1）模型
3.  
   spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE),
4.  
   fixed.pars = list(mu = 0.005, ar1 = -0.9, sigma = 0.1))
5.  
    
6.  
   # 生成长度为1000的序列
7.  
   arfima(arma_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$seriesSim
8.  
    
9.  
   # 使用 rugarch包指定和拟合模型
10.  
    spec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0), include.mean = TRUE))
11.  
     
12.  
    # 使用包“ forecast”拟合模型
13.  
     
14.  
    #> ARIMA(1,0,0) with non-zero mean
15.  
    #>
16.  
    #> Coefficients:
17.  
    #> ar1 mean
18.  
    #> -0.8982 0.0036
19.  
    #> s.e. 0.0139 0.0017
20.  
    #>
21.  
    #> sigma^2 estimated as 0.01004: log likelihood=881.6
22.  
    #> AIC=-1757.2 AICc=-1757.17 BIC=-1742.47
23.  
     
24.  
    # 比较模型系数
25.  
     
26.  
    #> ar1 intercept sigma
27.  
    #> -0.898181148 0.003574781 0.100222964
28.  
     
29.  
    #> mu ar1 sigma
30.  
    #> 0.003605805 -0.898750138 0.100199956

确实，这两个软件包给出了相同的结果。

ARMA模型选择 

在先前的实验中，我们假设我们知道ARMA模型的阶数，即p = 1和q = 0。实际上，阶数是未知的，因此必须尝试不同的阶数组合。阶数越高，拟合越好，但这将不可避免地导致过度拟合。已经开发出许多方法来惩罚复杂性的增加以避免过度拟合，例如AIC，BIC，SIC，HQIC等。

1.  
    
2.  
    
3.  
   # 尝试不同的组合
4.  
    
5.  
   # 查看排名
6.  
   #> AR MA Mean ARFIMA BIC converged
7.  
   #> 1 1 0 1 0 -0.38249098 1
8.  
   #> 2 1 1 1 0 -0.37883157 1
9.  
   #> 3 2 0 1 0 -0.37736340 1
10.  
    #> 4 1 2 1 0 -0.37503980 1
11.  
    #> 5 2 1 1 0 -0.37459177 1
12.  
    #> 6 3 0 1 0 -0.37164609 1
13.  
    #> 7 1 3 1 0 -0.37143480 1
14.  
    #> 8 2 2 1 0 -0.37107841 1
15.  
    #> 9 3 1 1 0 -0.36795491 1
16.  
    #> 10 2 3 1 0 -0.36732669 1
17.  
    #> 11 3 2 1 0 -0.36379209 1
18.  
    #> 12 3 3 1 0 -0.36058264 1
19.  
    #> 13 0 3 1 0 -0.11875575 1
20.  
    #> 14 0 2 1 0 0.02957266 1
21.  
    #> 15 0 1 1 0 0.39326050 1
22.  
    #> 16 0 0 1 0 1.17294875 1
23.  
     
24.  
    #选最好的
25.  
     
26.  
    armaOrder
27.  
    #> AR MA
28.  
    #> 1 0

在这种情况下，由于观察次数T = 1000足够大，因此阶数被正确地检测到。相反，如果尝试使用T = 200，则检测到的阶数为p = 1，q = 3。

ARMA预测 

一旦估计了ARMA模型参数ϕi  ^ i和θ^j，就可以使用该模型预测未来的值。例如，根据过去的信息对xt的预测是

并且预测误差将为xt-x ^ t = wt（假设参数已被估计），其方差为σ2。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：

1.  
   # 估计模型（不包括样本外）
2.  
    
3.  
   coef(arma_fit)
4.  
   #> mu ar1 sigma
5.  
   #> 0.007212069 -0.898745183 0.200400119
6.  
    
7.  
   # 整个样本外的预测对数收益
8.  
   forecast_log_returns <- xts(arma_fore@forecast$seriesFor[1, ], dates_out_of_sample)
9.  
    
10.  
    # 恢复对数价格
11.  
    prev_log_price <- head(tail(synth_log_prices, out_of_sample+1), out_of_sample)
12.  
     
13.  
    # 对数收益图
14.  
    plot(cbind("fitted" = fitted(arma_fit),
15.  
     
16.  
    # 对数价格图
17.  
    plot(cbind("forecast" = forecast_log_prices,
18.  
     
19.  
    main = "对数价格预测", legend.loc = "topleft")

多元VARMA模型

对数收益率xt上的VARMA（p，q）模型是

其中wt是具有零均值和协方差矩阵Σw的白噪声序列。该模型的参数是矢量/矩阵系数ϕ0，Φi，Θj和噪声协方差矩阵Σw。

 

比较

让我们首先加载S＆P500：

1.  
    
2.  
   # 加载标普500数据
3.  
    
4.  
   head(SP500_index_prices)
5.  
   #> SP500
6.  
   #> 2012-01-03 1277.06
7.  
   #> 2012-01-04 1277.30
8.  
   #> 2012-01-05 1281.06
9.  
   #> 2012-01-06 1277.81
10.  
    #> 2012-01-09 1280.70
11.  
    #> 2012-01-10 1292.08
12.  
     
13.  
    # 准备训练和测试数据
14.  
     
15.  
    logreturns_trn <- logreturns[1:T_trn]
16.  
    logreturns_tst <- logreturns[-c(1:T_trn)]
17.  
     
18.  
    # 绘图
19.  
    { plot(logreturns,
20.  
    addEventLines(xts("训练"

现在，我们使用训练数据（即，对于t = 1，…，Ttrnt = 1，…，Ttrn）来拟合不同的模型（请注意，通过指示排除了样本外数据 out.sample = T_tst）。特别是，我们将考虑iid模型，AR模型，ARMA模型以及一些ARCH和GARCH模型（稍后将对方差建模进行更详细的研究）。

1.  
    
2.  
   # 拟合i.i.d.模型
3.  
    
4.  
   coef(iid_fit)
5.  
   #> mu sigma
6.  
   #> 0.0005712982 0.0073516993
7.  
   mean(logreturns_trn)
8.  
   #> [1] 0.0005681388
9.  
   sd(logreturns_trn)
10.  
    #> [1] 0.007360208
11.  
     
12.  
    # 拟合AR（1）模型
13.  
     
14.  
    coef(ar_fit)
15.  
    #> mu ar1 sigma
16.  
    #> 0.0005678014 -0.0220185181 0.0073532716
17.  
     
18.  
    # 拟合ARMA（2,2）模型
19.  
     
20.  
    coef(arma_fit)
21.  
    #> mu ar1 ar2 ma1 ma2 sigma
22.  
    #> 0.0007223304 0.0268612636 0.9095552008 -0.0832923604 -0.9328475211 0.0072573570
23.  
     
24.  
    # 拟合ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型
25.  
     
26.  
    coef(arch_fit)
27.  
    #> mu ar1 ma1 omega alpha1
28.  
    #> 6.321441e-04 8.720929e-02 -9.391019e-02 4.898885e-05 9.986975e-02
29.  
     
30.  
    #拟合ARMA（0,0）+ARCH（10）模型
31.  
     
32.  
    coef(long_arch_fit)
33.  
    #> mu omega alpha1 alpha2 alpha3 alpha4 alpha5
34.  
    #> 7.490786e-04 2.452099e-05 6.888561e-02 7.207551e-02 1.419938e-01 1.909541e-02 3.082806e-02
35.  
    #> alpha6 alpha7 alpha8 alpha9 alpha10
36.  
    #> 4.026539e-02 3.050040e-07 9.260183e-02 1.150128e-01 1.068426e-06
37.  
     
38.  
    # 拟合ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型
39.  
     
40.  
    coef(garch_fit)
41.  
    #> mu ar1 ma1 omega alpha1 beta1
42.  
    #> 6.660346e-04 9.664597e-01 -1.000000e+00 7.066506e-06 1.257786e-01 7.470725e-01

我们使用不同的模型来预测对数收益率：

1.  
   # 准备预测样本外周期的对数收益
2.  
    
3.  
   # i.i.d.模型预测
4.  
   forecast(iid_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
5.  
   dates_out_of_sample)
6.  
    
7.  
   # AR（1）模型进行预测
8.  
   forecast(ar_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
9.  
   dates_out_of_sample)
10.  
     
11.  
    # ARMA（2,2）模型进行预测
12.  
    forecast(arma_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
13.  
    dates_out_of_sample)
14.  
     
15.  
    # 使用ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型进行预测
16.  
    forecast(arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
17.  
    dates_out_of_sample)
18.  
     
19.  
    # ARMA（0,0）+ARCH（10）模型预测
20.  
    forecast(long_arch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
21.  
    dates_out_of_sample)
22.  
     
23.  
    # ARMA（1,1）+GARCH（1,1）模型预测
24.  
    forecast(garch_fit, n.ahead = 1, n.roll = T_tst - 1)
25.  
    dates_out_of_sample)

我们可以计算不同模型的预测误差（样本内和样本外）：

1.  
    
2.  
   print(error_var)
3.  
   #> in-sample out-of-sample
4.  
   #> iid 5.417266e-05 8.975710e-05
5.  
   #> AR(1) 5.414645e-05 9.006139e-05
6.  
   #> ARMA(2,2) 5.265204e-05 1.353213e-04
7.  
   #> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.983266e-05
8.  
   #> ARCH(10) 5.417266e-05 8.975710e-05
9.  
   #> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 9.244012e-05

我们可以观察到，随着模型复杂度的增加，样本内误差趋于变小（由于拟合数据的自由度更高），尽管差异可以忽略不计。重要的实际上是样本外误差：我们可以看到，增加模型复杂度可能会得出较差的结果。就预测收益的误差而言，似乎最简单的iid模型已经足够了。

最后，让我们展示一些样本外误差的图表：

1.  
    
2.  
   plot(error,
3.  
   main = "不同模型收益预测的样本外误差",

请注意，由于我们没有重新拟合模型，因此随着时间的发展，误差越大（对于ARCH建模尤其明显）。

滚动窗口比较

让我们首先通过一个简单的示例比较静态预测与滚动预测的概念：

1.  
   #ARMA（2,2）模型
2.  
   spec <- spec(mean.model = list(armaOrder = c(2,2), include.mean = TRUE))
3.  
    
4.  
   # 静态拟合和预测
5.  
   ar_static_fit <- fit(spec = spec, data = logreturns, out.sample = T_tst)
6.  
    
7.  
   #滚动拟合和预测
8.  
   modelroll <- aroll(spec = spec, data = logreturns, n.ahead = 1,
9.  
    
10.  
     
11.  
    # 预测图
12.  
    plot(cbind("static forecast" = ar_static_fore_logreturns,
13.  
    main = "使用ARMA（2,2）模型进行预测", legend.loc = "topleft")
14.  
     
15.  
    # 预测误差图
16.  
     
17.  
    plot(error_logreturns, col = c("black", "red"), lwd = 2,
18.  
    main = "ARMA（2,2）模型的预测误差", legend.loc = "topleft")

我们可以清楚地观察到滚动窗口过程对时间序列的影响。

现在，我们可以在滚动窗口的基础上重做所有模型的所有预测：

1.  
   # 基于i.i.d.模型的滚动预测
2.  
   roll(iid_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_t
3.  
    
4.  
   # AR（1）模型的滚动预测
5.  
   roll(ar_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
6.  
    
7.  
   # ARMA（2,2）模型的滚动预测
8.  
   roll(arma_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
9.  
    
10.  
    # ARMA（1,1）+ ARCH（1）模型的滚动预测
11.  
    roll(arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
12.  
    refit.every = 50, refit.win
13.  
     
14.  
    # ARMA（0,0）+ ARCH（10）模型的滚动预测
15.  
    roll(long_arch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
16.  
    refit.every = 50,
17.  
     
18.  
    # ARMA（1,1）+ GARCH（1,1）模型的滚动预测
19.  
    roll(garch_spec, data = logreturns, n.ahead = 1, forecast.length = T_tst,
20.  
    refit.every = 50, refit.window

让我们看看滚动基准情况下的预测误差：

1.  
    
2.  
   print(rolling_error_var)
3.  
   #> in-sample out-of-sample
4.  
   #> iid 5.417266e-05 8.974166e-05
5.  
   #> AR(1) 5.414645e-05 9.038057e-05
6.  
   #> ARMA(2,2) 5.265204e-05 8.924223e-05
7.  
   #> ARMA(1,1) + ARCH(1) 5.415836e-05 8.991902e-05
8.  
   #> ARCH(10) 5.417266e-05 8.976736e-05
9.  
   #> ARMA(1,1) + GARCH(1,1) 5.339071e-05 8.895682e-05

和一些图表：

1.  
    
2.  
   plot(error_logreturns,
3.  
   main = "不同模型的滚动预测误差", legend.loc = "topleft"

我们看到，现在所有模型都拟合了时间序列。此外，我们在模型之间没有发现任何显着差异。

我们最终可以比较静态误差和滚动误差：

1.  
   barplot(rbind(error_var[, "out-of-sample"], rolling_error_var[, "out-of-sample"])
2.  
   col = c("darkblue", "darkgoldenrod"),
3.  
   legend = c("静态预测", "滚动预测"),
4.  
    

我们可以看到，滚动预测在某些情况下是必须的。因此，实际上，我们需要定期进行滚动预测改进。

方差模型

ARCH和GARCH模型

对数收益率残差wt的ARCH（m）模型为

其中zt是具有零均值和恒定方差的白噪声序列，而条件方差σ2t建模为

其中，m为模型阶数，ω> 0，αi≥0为参数。

GARCH（m，s）模型使用σ2t上的递归项扩展了ARCH模型：

其中参数ω> 0，αi≥0，βj≥0需要满足∑mi =1αi+ ∑sj = 1βj≤1的稳定性。

rugarch生成数据 

首先，我们需要定义模型：

1.  
    
2.  
   #指定具有给定系数和参数的GARCH模型
3.  
    
4.  
   #>
5.  
   #> *---------------------------------*
6.  
   #> * GARCH Model Spec *
7.  
   #> *---------------------------------*
8.  
   #>
9.  
   #> Conditional Variance Dynamics
10.  
    #> ------------------------------------
11.  
    #> GARCH Model : sGARCH(1,1)
12.  
    #> Variance Targeting : FALSE
13.  
    #>
14.  
    #> Conditional Mean Dynamics
15.  
    #> ------------------------------------
16.  
    #> Mean Model : ARFIMA(1,0,0)
17.  
    #> Include Mean : TRUE
18.  
    #> GARCH-in-Mean : FALSE
19.  
    #>
20.  
    #> Conditional Distribution
21.  
    #> ------------------------------------
22.  
    #> Distribution : norm
23.  
    #> Includes Skew : FALSE
24.  
    #> Includes Shape : FALSE
25.  
    #> Includes Lambda : FALSE
26.  
     
27.  
    #> Level Fixed Include Estimate LB UB
28.  
    #> mu 0.005 1 1 0 NA NA
29.  
    #> ar1 -0.900 1 1 0 NA NA
30.  
    #> ma 0.000 0 0 0 NA NA
31.  
    #> arfima 0.000 0 0 0 NA NA
32.  
    #> archm 0.000 0 0 0 NA NA
33.  
    #> mxreg 0.000 0 0 0 NA NA
34.  
    #> omega 0.001 1 1 0 NA NA
35.  
    #> alpha1 0.300 1 1 0 NA NA
36.  
    #> beta1 0.650 1 1 0 NA NA
37.  
    #> gamma 0.000 0 0 0 NA NA
38.  
    #> eta1 0.000 0 0 0 NA NA
39.  
    #> eta2 0.000 0 0 0 NA NA
40.  
    #> delta 0.000 0 0 0 NA NA
41.  
    #> lambda 0.000 0 0 0 NA NA
42.  
    #> vxreg 0.000 0 0 0 NA NA
43.  
    #> skew 0.000 0 0 0 NA NA
44.  
    #> shape 0.000 0 0 0 NA NA
45.  
    #> ghlambda 0.000 0 0 0 NA NA
46.  
    #> xi 0.000 0 0 0 NA NA
47.  
     
48.  
    #> $mu
49.  
    #> [1] 0.005
50.  
    #>
51.  
    #> $ar1
52.  
    #> [1] -0.9
53.  
    #>
54.  
    #> $omega
55.  
    #> [1] 0.001
56.  
    #>
57.  
    #> $alpha1
58.  
    #> [1] 0.3
59.  
    #>
60.  
    #> $beta1
61.  
    #> [1] 0.65
62.  
     
63.  
    true_params
64.  
    #> mu ar1 omega alpha1 beta1
65.  
    #> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650

然后，我们可以生成收益率时间序列：

1.  
   # 模拟一条路径
2.  
    
3.  
   hpath(garch_spec, n.sim = T)
4.  
    
5.  
   #> num [1:2000, 1] 0.167 -0.217
6.  
    
7.  
   # 绘图对数收益
8.  
    
9.  
   { plot(synth_log_returns, main = "GARCH模型的对数收益", lwd = 1.5)
10.  
    lines(synth_volatility

GARCH

现在，我们可以估计参数：

1.  
   # 指定一个GARCH模型
2.  
   ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1,0)
3.  
    
4.  
   # 估计模型
5.  
    
6.  
   coef(garch_fit)
7.  
   #> mu ar1 omega alpha1 beta1
8.  
   #> 0.0036510100 -0.8902333595 0.0008811434 0.2810460728 0.6717486402
9.  
    
10.  
     
11.  
    #> mu ar1 omega alpha1 beta1
12.  
    #> 0.005 -0.900 0.001 0.300 0.650
13.  
     
14.  
    # 系数误差
15.  
     
16.  
    #> mu ar1 omega alpha1 beta1
17.  
    #> 0.0013489900 0.0097666405 0.0001188566 0.0189539272 0.0217486402

我们还可以研究样本数量T对参数估计误差的影响：

1.  
   # 循环
2.  
    
3.  
   for (T_ in T_sweep) {
4.  
   garch_fit
5.  
   error_coeffs_vs_T <- rbind(error_coeffs_vs_T, abs((coef(garch_fit) - true_params)/true_params))
6.  
   estim_coeffs_vs_T <- rbind(estim_coeffs_vs_T, coef(garch_fit))
7.  
    
8.  
    
9.  
   # 绘图
10.  
    matplot(T_sweep, 100*error_coeffs_vs_T,
11.  
    main = "估计GARCH系数的相对误差", xlab = "T", ylab = "误差 (%)",
12.  
     

真实的ω几乎为零，因此误差非常不稳定。至于其他系数，就像在ARMA情况下一样，μ的估计确实很差（相对误差超过50％），而其他系数似乎在T = 800个样本后得到了很好的估计。

GARCH结果比较 

作为健全性检查，我们现在将比较两个软件包 fGarch 和 rugarch的结果：

1.  
    
2.  
   # 指定具有特定参数值的ARMA（0,0）-GARCH（1,1）作为数据生成过程
3.  
   garch_spec
4.  
    
5.  
   #生成长度为1000的数据
6.  
    
7.  
   path(garch_fixed_spec, n.sim = 1000)@path$
8.  
    
9.  
   # 使用“ rugarch”包指定和拟合模型
10.  
     
11.  
    rugarch_fit <- ugarchfit(spec = garch_spec, data = x)
12.  
     
13.  
    # 使用包“ fGarch”拟合模型
14.  
    garchFit(formula = ~ garch(1, 1), data = x, trace = FALSE)
15.  
     
16.  
    # 比较模型系数
17.  
    #> mu omega alpha1 beta1
18.  
    #> 0.09749904 0.01395109 0.13510445 0.73938595
19.  
    #> mu omega alpha1 beta1
20.  
    #> 0.09750394 0.01392648 0.13527024 0.73971658
21.  
     
22.  
    # 比较拟合的标准偏差
23.  
    print(head(fGarch_fi
24.  
    #> [1] 0.3513549 0.3254788 0.3037747 0.2869034 0.2735266 0.2708994
25.  
    print(head(rugar
26.  
    #> [1] 0.3538569 0.3275037 0.3053974 0.2881853 0.2745264 0.2716555

确实，这两个软件包给出了相同的结果。

使用rugarch包进行GARCH预测 

一旦估计出GARCH模型的参数，就可以使用该模型预测未来的值。例如，基于过去的信息对条件方差的单步预测为

给定ω^ /（1-∑mi =1α^ i-∑sj =1β^ j）。软件包 rugarch 使对样本外数据的预测变得简单：

1.  
   # 估计模型，不包括样本外
2.  
    
3.  
    
4.  
   garch_fit
5.  
   coef(garch_fit)
6.  
   #> mu ar1 omega alpha1 beta1
7.  
   #> 0.0034964331 -0.8996287630 0.0006531088 0.3058756796 0.6815452241
8.  
    
9.  
   # 预测整个样本的对数收益
10.  
     
11.  
    garch_fore@forecast$sigmaFor[1, ]
12.  
     
13.  
    # 对数收益图
14.  
    plot(cbind("fitted" = fitted(garch_fit),
15.  
    main = "合成对数收益预测", legend.loc = "topleft")

1.  
   #波动率对数收益图
2.  
   plot(cbind("fitted volatility" = sigma(garch_fit),
3.  
   main = "预测合成对数收益率的波动性", legend.loc = "topleft")

不同方法

让我们首先加载S＆P500：

1.  
    
2.  
    
3.  
   # 加载标准普尔500指数数据
4.  
    
5.  
   head(SP500_index_prices)
6.  
   #> SP500
7.  
   #> 2008-01-02 1447.16
8.  
   #> 2008-01-03 1447.16
9.  
   #> 2008-01-04 1411.63
10.  
    #> 2008-01-07 1416.18
11.  
    #> 2008-01-08 1390.19
12.  
    #> 2008-01-09 1409.13
13.  
     
14.  
    # 准备训练和测试数据
15.  
     
16.  
    x_trn <- x[1:T_trn]
17.  
    x_tst <- x[-c(1:T_trn)]
18.  
     
19.  
    # 绘图
20.  
    { plot(x, main = "收益"
21.  
    addEventLines(xts("训练", in

常数

让我们从常数开始：

1.  
   plot(cbind(sqrt(var_constant), x_trn)
2.  
   main = "常数")

移动平均值

现在，让我们使用平方收益的移动平均值：

1.  
    
2.  
   plot(cbind(sqrt(var_t), x_trn),
3.  
   main = "基于简单滚动平方均值的包络线(时间段=20)
4.  
    
5.  
    

EWMA

指数加权移动平均线（EWMA）：

请注意，这也可以建模为ETS（A，N，N）状态空间模型：

1.  
    
2.  
   plot(cbind(std_t, x_trn),
3.  
   main = "基于平方EWMA的包络")
4.  
    

乘法ETS

我们还可以尝试ETS模型的不同变体。例如，具有状态空间模型的乘性噪声版本ETS（M，N，N）：

1.  
    
2.  
   plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
3.  
   main = "基于平方的ETS（M，N，N）的包络"
4.  
    

ARCH

现在，我们可以使用更复杂的ARCH建模：

1.  
    
2.  
   plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
3.  
   main = "基于ARCH(5)的包络")
4.  
    

GARCH

我们可以将模型提升到GARCH：

1.  
    
2.  
   plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black")
3.  
   main = "基于GARCH（1,1）的包络")
4.  
    

SV随机波动率

最后，我们可以使用随机波动率建模：

或者，等效地，

1.  
    
2.  
   plot(cbind(std_t, x_trn), col = c("red", "black"),
3.  
   main = "基于随机波动率的包络分析")
4.  
    

比较

现在，我们可以比较每种方法在样本外期间的方差估计中的误差：

1.  
    
2.  
   #> MA EWMA ETS(M,N,N) ARCH(5) GARCH(1,1) SV
3.  
   #> 2.204965e-05 7.226188e-06 3.284057e-06 7.879039e-05 6.496545e-06 6.705059e-06
4.  
   barplot(error_all, main = "样本外方差估计中的误差"

滚动窗口比较

六种方法的滚动窗口比较：MA，EWMA，ETS（MNN），ARCH（5），GARCH（1,1）和SV。

1.  
    
2.  
   #滚动窗口
3.  
   lookback <- 200
4.  
   len_tst <- 40
5.  
   for (i in seq(lookback, T-len_tst, by = len_tst)) {
6.  
    
7.  
   # MA
8.  
   var_t <- roll_meanr(x_trn^2, n = 20, fill = NA)
9.  
   var_fore <- var(x_trn/sqrt(var_t), na.rm = TRUE) * tail(var_t, 1)
10.  
    error_ma <- c(error_ma, abs(var_fore - var_tst))
11.  
     
12.  
    # EWMA
13.  
     
14.  
    error_ewma <- c(error_ewma, abs(var_fore - var_tst))
15.  
     
16.  
    # ETS(M,N,N)
17.  
     
18.  
    error_ets_mnn <- c(error_ets_mnn, abs(var_fore - var_tst))
19.  
     
20.  
    # ARCH
21.  
     
22.  
    error_arch <- c(error_arch, abs(var_fore - var_tst))
23.  
     
24.  
    # GARCH
25.  
     
26.  
    error_garch <- c(error_garch, abs(var_fore - var_tst))
27.  
     
28.  
    # SV
29.  
     
30.  
    error_sv <- c(error_sv, abs(var_fore - var_tst))
31.  
    }
32.  
     
33.  
     
34.  
    barplot(error_all, main = "方差估计误差",

多元GARCH模型

出于说明目的，我们将仅考虑恒定条件相关（CCC）和动态条件相关（DCC）模型，因为它们是最受欢迎的模型。对数收益率残差wt建模为

其中zt是具有零均值和恒定协方差矩阵II的iid白噪声序列。条件协方差矩阵Σt建模为

其中Dt = Diag（σ1，t，...，σN，t）是标准化噪声向量C，协方差矩阵ηt=C-1wt（即，它包含等于1的对角线元素）。

基本上，使用此模型，对角矩阵Dt包含一组单变量GARCH模型，然后矩阵C包含序列之间的一些相关性。该模型的主要缺点是矩阵C是恒定的。为了克服这个问题，DCC被提议为

其中Ct包含等于1的对角元素。要强制等于1的对角元素，Engle将其建模为

Qt具有任意对角线元素并遵循模型

我们将生成数据，估计参数和预测。

从加载多元ETF数据开始：

• SPDR S＆P 500 ETF
• 20年以上国债ETF
• IEF：7-10年期国债ETF

1.  
    
2.  
   # 下载数据
3.  
   prices <- xts()
4.  
    
5.  
   head(prices)
6.  
   #> SPY TLT IEF
7.  
   #> 2013-01-02 127.8779 99.85183 93.65224
8.  
   #> 2013-01-03 127.5890 98.49886 93.17085
9.  
   #> 2013-01-04 128.1493 98.88306 93.21463
10.  
    #> 2013-01-07 127.7991 98.92480 93.26714
11.  
    #> 2013-01-08 127.4314 99.57622 93.49468
12.  
    #> 2013-01-09 127.7553 99.48438 93.54719
13.  
     
14.  
    # 绘制三个对数价格序列
15.  
    plot(log(prices)
16.  
    main = "三个ETF的对数价格", legend.loc = "topleft")

首先，我们定义模型：

1.  
    
2.  
    
3.  
   # 指定i.i.d.单变量时间序列模型
4.  
   ugarch_spec
5.  
   # 指定DCC模型
6.  
   spec( multispec(replicate(spec, n = 3))
7.  
    

接下来，我们拟合模型：

1.  
   # 估计模型
2.  
    
3.  
   #>
4.  
   #> *---------------------------------*
5.  
   #> * DCC GARCH Fit *
6.  
   #> *---------------------------------*
7.  
   #>
8.  
   #> Distribution : mvnorm
9.  
   #> Model : DCC(1,1)
10.  
    #> No. Parameters : 44
11.  
    #> [VAR GARCH DCC UncQ] : [30+9+2+3]
12.  
    #> No. Series : 3
13.  
    #> No. Obs. : 1007
14.  
    #> Log-Likelihood : 12198.4
15.  
    #> Av.Log-Likelihood : 12.11
16.  
    #>
17.  
    #> Optimal Parameters
18.  
    #> -----------------------------------
19.  
    #> Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
20.  
    #> [SPY].omega 0.000004 0.000000 11.71585 0.000000
21.  
    #> [SPY].alpha1 0.050124 0.005307 9.44472 0.000000
22.  
    #> [SPY].beta1 0.870051 0.011160 77.96041 0.000000
23.  
    #> [TLT].omega 0.000001 0.000001 0.93156 0.351563
24.  
    #> [TLT].alpha1 0.019716 0.010126 1.94707 0.051527
25.  
    #> [TLT].beta1 0.963760 0.006434 149.79210 0.000000
26.  
    #> [IEF].omega 0.000000 0.000001 0.46913 0.638979
27.  
    #> [IEF].alpha1 0.031741 0.023152 1.37097 0.170385
28.  
    #> [IEF].beta1 0.937777 0.016498 56.84336 0.000000
29.  
    #> [Joint]dcca1 0.033573 0.014918 2.25044 0.024421
30.  
    #> [Joint]dccb1 0.859787 0.079589 10.80278 0.000000
31.  
    #>
32.  
    #> Information Criteria
33.  
    #> ---------------------
34.  
    #>
35.  
    #> Akaike -24.140
36.  
    #> Bayes -23.925
37.  
    #> Shibata -24.143
38.  
    #> Hannan-Quinn -24.058
39.  
    #>
40.  
    #>
41.  
    #> Elapsed time : 0.8804049

我们可以绘制时变相关性：

1.  
   # 提取时变协方差和相关矩阵
2.  
   dim(dcc_cor)
3.  
   #> [1] 3 3 1007
4.  
    
5.  
   #绘图
6.  
    
7.  
   plot(corr_t
8.  
   main = "时变相关", legend.loc = "left")

我们看到两个收益ETF之间的相关性非常高且相当稳定。与SPY的相关性较小，在小于0的区间波动。

 

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