拓端tecdat|R语言辅导中的多项式回归、B样条曲线(B-spline Curves)回归
原文链接：http://tecdat.cn/?p=18129
在线性模型的文章中，我们已经了解了如何在给出协变量x的向量时构造线性模型。但更一般而言，我们可以考虑协变量的变换，来使用线性模型。
我们首先讨论多项式回归，进一步，我们会想到分段线性或分段多项式函数，可能还有附加的连续性约束，这些是样条曲线回归的基础。
多项式回归
谈论多项式回归时（在单变量情况下）
我们使用
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coef = leg.poly(n=4)
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[[1]]
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1
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-
[[2]]
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x
-
-
[[3]]
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-0.5 + 1.5*x^2
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-
[[4]]
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-1.5*x + 2.5*x^3
-
-
[[5]]
-
0.375 - 3.75*x^2 + 4.375*x^4
有许多正交多项式族（Jacobi多项式， Laguerre多项式， Hermite多项式等）。在R中有用于多项式回归的标准多边形函数。
当使用poly时，我们使用矩阵的 QR分解。我们使用
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poly - function (x, deg = 1) {
-
xbar = mean(x)
-
x = x - xbar
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QR = qr(outer(x, 0:degree, "^"))
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X = qr.qy(QR, diag(diag(QR$qr),
这两个模型是等效的。
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dist~speed+I(speed^2)+I(speed^3)
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dist~poly(speed,3)
我们有完全相同的预测
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v1[u==15]
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121
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38.43919
-
v2[u==15]
-
121
-
38.43919
系数没有相同的解释，但是p值完全相同，两个模型以相同的置信度拒绝三次多项式，
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summary(reg1)
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Coefficients:
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Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
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(Intercept) -19.50505 28.40530 -0.687 0.496
-
speed 6.80111 6.80113 1.000 0.323
-
I(speed^2) -0.34966 0.49988 -0.699 0.488
-
I(speed^3) 0.01025 0.01130 0.907 0.369
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-
Residual standard error: 15.2 on 46 degrees of freedom
-
Multiple R-squared: 0.6732, Adjusted R-squared: 0.6519
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F-statistic: 31.58 on 3 and 46 DF, p-value: 3.074e-11
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summary(reg2)
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Coefficients:
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Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
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(Intercept) 42.98 2.15 19.988 < 2e-16 ***
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poly(speed, 3)1 145.55 15.21 9.573 1.6e-12 ***
-
poly(speed, 3)2 23.00 15.21 1.512 0.137
-
poly(speed, 3)3 13.80 15.21 0.907 0.369
-
---
-
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
-
-
Residual standard error: 15.2 on 46 degrees of freedom
-
Multiple R-squared: 0.6732, Adjusted R-squared: 0.6519
-
F-statistic: 31.58 on 3 and 46 DF, p-value: 3.074e-11
B样条曲线（B-spline curve）和GAM
样条曲线在回归模型中也很重要，尤其是当我们开始讨论 广义加性模型时。在单变量情况下，我通过引入（线性）样条曲线，
模型是连续的（连续函数的加权总和是连续的）。我们可以进一步
二次样条
用于三次样条。有趣的是，二次样条不仅是连续的，而且它们的一阶导数也是连续的（三次样条是连续的）。这些模型易于解释。例如，简单的模型
是以下连续的分段线性函数，在节点s处分段。
还应遵守以下解释：对于xx较小的值，线性增加，斜率\beta_1β1\;对于xx较大的值，线性减小，斜率\ beta_1 + \beta_2β1+β2。因此，\beta_2β2被解释为斜率的变化。
现在在R中使用bs函数（即标准B样条）并可视化
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x = seq(5,25,by=.25)
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B = bs(x,knots=c(10,20),Boundary.knots=c(5,55),degre=1)
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matplot(x,B,type="l",lty=1,lwd=2,col=clr6)
提到的函数如下
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par(mfrow=c(1,2))
-
-
matplot(x,B,type="l",lty=1,lwd=2)
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matplot(x,B,type="l",col=clr)
多项式回归中这两个模型表示方法是等效的。例如
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dist~speed+pos(speed,10)+pos(speed,20
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dist~bs(speed,degree=1,knots=c(10,20)
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v1[u==15]
-
121
-
39.35747
-
v2[u==15]
-
121
-
39.35747
这两个模型以及系数的解释是等效的：
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summary(reg1)
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Coefficients:
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Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
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(Intercept) -7.6305 16.2941 -0.468 0.6418
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speed 3.0630 1.8238 1.679 0.0998 .
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pos(speed, 10) 0.2087 2.2453 0.093 0.9263
-
pos(speed, 20) 4.2812 2.2843 1.874 0.0673 .
-
---
-
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
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Residual standard error: 15 on 46 degrees of freedom
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Multiple R-squared: 0.6821, Adjusted R-squared: 0.6613
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F-statistic: 32.89 on 3 and 46 DF, p-value: 1.643e-11
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summary(reg2)
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-
Coefficients:
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Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
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(Intercept) 4.621 9.344 0.495 0.6233
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bs(speed, degree = 1, knots = c(10, 20))1 18.378 10.943 1.679 0.0998 .
-
bs(speed, degree = 1, knots = c(10, 20))2 51.094 10.040 5.089 6.51e-06 ***
-
bs(speed, degree = 1, knots = c(10, 20))3 88.859 12.047 7.376 2.49e-09 ***
-
---
-
Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1
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-
Residual standard error: 15 on 46 degrees of freedom
-
Multiple R-squared: 0.6821, Adjusted R-squared: 0.6613
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F-statistic: 32.89 on 3 and 46 DF, p-value: 1.643e-11
在这里我们可以直接看到，第一个结点的斜率没有明显变化。
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