代数(Algebra, 2nd Edition by Michael Artin)学习笔记
更新：由于我可能找到了更为优秀的代数教材（代数学方法：第一卷，李文威），因此这篇博客可能不再更新。
我个人希望这篇博客能作为你阅读这本书（当然是原版）的辅助工具。
后文中所有英文（中文）的内容为中文版或不知道哪找来的翻译，不代表我认可和使用该翻译。如果在某个英文名词后面没有跟括号，代表我没去查，可能也懒得查了；所有中文（英文）的内容为找到了相对可靠，且为了方便而使用的中文译名。
词汇表
词汇表中的翻译一般是已经约定俗成并且广泛使用的。其他的controversial内容我一般直接以原文表示。
quadratic number field 二次域
lattice n. 格
indices n. the plural of index；这个词并不那么好翻译，因此后文中我也会使用原文
bijective a. 双射的
denote v. 表示；通常用be denoted by来表示“用\(\cdots\cdots\)表示”
composition n. 复合（这个翻译我是看中文书才知道的，感觉很微妙）
in succession 接二连三
keep track of 追踪
tabular a. 表格
cumbersome a. 笨重的
notation n. a system of using symbols or signs as a form of communication，大概可以理解成记法
interpret v. 解释
analogous a. 类似的
slight a. 轻微的
arbitrary a. 任意的
fix v. 固定
omit v. 省略
convention n. 也许可以理解为约定俗成
identity n. 特征；恒等式；identity matrix译为单位矩阵
zig-zag a. 曲折的
fashion n. a popular trend of behaviors，可译为方式，方法
commutative a. 交换的
explicitly ad. 明确地
subscript n. 下标
compact a. 大意是简约的
proposition n. 命题
resemble v. 类似
obtain v. 获得
associative a. 满足结合律的
commutative a. 满足交换律的
commutativity n. 交换律
implicate v. 牵涉
implication n. 意义
fundamental a. 根本的
transposition n. 对换
yield v. 归于
induction n. 归纳
bracket n. （方）括号
property n. 属性
illustrate v. 说明
terminology n. 术语学
suffice vi. 足够；vt. 使满足
with respect to 关于
term n. 术语
restate v. 重述，重申
corollary n.推论
multiple n. 倍数
distinct a. 不同的
intuitive a. 直觉的
range n. 值域
assertion n. 断言
subtle a. 微妙的；不明确的
partition v.&n. 分隔，分开
interchange v. 互换
identical a. （完全，细节上都）相同的
indicate v. 表明，表示
identify v. 确认，认出
fixed a. 固定的，确定的
disjoint a. 无交的
矩阵/Matrices
矩阵作为第一章，内容比较简单，相当于是线代基础复习课。
大概记一些原来没太搞懂的东西，比如线性方程组是\(AX=B\)其实很obvious。
有意思的一点是置换放到了矩阵这里讲，大概确实具有一定的关联性。而且中间还穿插一些申必定义，后面跟一句将在后面的章节讨论，有这么讲课的吗
当然这一章我也没认真看，大概到后面自闭了会回来看一下吧。
前面的内容
列向量可以表示成一系列标准基的和，即若\(X=[x_1,x_2,\cdots,x_n],X=\sum e_ix_i\)（就假装它是列向量）
置换/Permutations
置换是集合对自身的双射，形式化地，即
这样定义的好处是它允许置换的复合像函数的复合一样定义，这样的复合被称为product permutation（译为积置换，但我感觉该翻译不是很好），记为\(q\circ p\)。与乘法类似，\(p,q\)的product permutation可以直接用\(qp\)表示，但有一点需要注意，即\(qp\)表示先进行\(p\)置换再进行\(q\)置换（理所当然地，置换不满足交换律）。
书中特别提到不要将置换看成相同indices的乱序组合，尽管原因我并没太看懂：书中说如果我们进行一大堆置换时将其用交换indices的方式去一步步实现会非常恐怖（becomes a nightmare）。
置换的常用记法是cycle notation，是由cycles组合起来的。cycles并不是圆，而是如
这样的表示，即\(p(x)=y,p(y)=z,p(z)=x\)。
二元环被称为对换（transposition）。
完整的cycle notation可以记为
这样的形式，它表示了一个置换。理所当然的，这种表示并不唯一，一方面是cycle本身的表示有很多种方法，另一方面是cycles的组合也可以有很多种方式。
在这种记法中，固定的indices（如\((x)\)）可以直接省略。
在cycle notation中，如果indices的集合已知，那么每个index至多出现一次，唯一的例外是identity permutation（译为恒等置换），它用\(1\)而不是空表示当然，也很难用空表示。
（这部分是自我总结）人脑来模拟置换过程可以按顺序来，比如\([(1452)]\circ[(341)(25)]\)，可以先看\(3\to4\to5\)，\(4\to1\to4\)，\(2\to5\to2\)，\(5\to2\to1\)，\(1\to3\)，故最终得到的置换为\((135)\)。这样算非常直观且方便。
与初等行变换一样，置换也可以通过矩阵乘法进行操作。为了方便，我们用初等矩阵左乘列向量来表示置换，这样置换的复合可以表示成矩阵的乘法，证明从略。
参考列向量的表示形式，置换矩阵当然也可以表示成一些矩阵的和（当然，也是矩阵空间的标准基）。于是我们可以将置换的形式再次改良一下：
（书中说为了让符号看起来尽可能简约用\(pi\)代替了\(p(i)\)，我觉得很棒）
首先\(e_{pi,i}e_j\)只有\(i=j\)才不为\(0\)，其次\(e_{pi,i}e_i\)就是\(e_{pi}\)。
需要注意的是\(e_{pi,i}\)指的是\(i\to pi\)，即实际上枚举的是原来的元素顺序；如果我们还要将置换后的元素用列向量表示，那么就要让标准基的位置变成原来的顺序，即表示成
也就是说，实际上这个置换后的列向量的顺序与置换的逆（比如，\((231),1\to2,2\to3,3\to1\)这个置换，它的逆是\(1\to3,2\to1,3\to2\)，即\((312)\)）看起来的顺序相同。同时我们也应注意到，这个置换的逆也可以直观地在置换矩阵中体现。
置换的符号函数\({\rm sign}\ p=\det P=\pm1\)，正数时置换为偶，负数时为奇，大概与从单位矩阵到\(P\)的行变换次数相同。显然任何对换均为奇置换，由于任何置换均可以表示成若干对换的积，故使用的对换个数也与奇偶性相关。
其他行列式公式/Other Formulas for the Determinant
略。
群/Groups
复合法则/Laws of Composition
官方给出的翻译是“合成法则”，但我未在其他地方找到类似的翻译，并且我对这个翻译并不算满意，因此后文中将直接采用原文。
大概就是指一种在集合内具有封闭性的将两个集合元素组合成另一个元素的运算法则。形式化地，其即为
这里的\(S\times S\)表示product set。
通常可以用类似乘法或加法的记号来描述这个法则及获得的元素，当然称呼也会根据使用的记号而有所不同（积或和）。大多数情况下，直接用空记号，即\(p=ab\)即可（习惯上，\(p=a+b\)通常表示运算满足交换律，而乘法记号则没有这种意义）。书中提到重要的一点是\(ab\)代表的是某一个集合中的元素，与\(ab\)本身无关。
laws of composition可以满足交换律或结合律，定义不再赘述。
书上说结合律比交换律更加“根本（fundamental）”，但尽管书上举了函数满足结合律这个例子，我仍然没有更直观且深入的印象，暂且不表。
随后有一个只有两个元素的映射集作为距离，其包含单位映射，对换映射以及两个常函数，值分别为两个元素。
只要满足了结合律，连乘的定义是非常显然易证的。
laws of composition的单位元（identity，或幺元）是满足
的\(\varepsilon\)，单位元的唯一性可以用反证法，假设存在另外一个单位元的方式来证明，比较trivial。
单位元在用乘法记号表示的laws of composition中通常用\(1\)表示，加法记号中通常用\(0\)表示，
元素的可逆性（invertible）即若
\(\exists b\text{, s.t. }ab=ba=1\)，
则\(a,b\)均可逆，且互为逆/逆元（inverse），通常用\(a^{-1}\)表示\(a\)的逆。
注意，the law of composition不一定满足交换律，故我们可以单独定义左逆元和右逆元。
书中不加证明地给出一些结论，我简单说明了一下：
1.如果\(a\)同时有左逆和右逆，则它们相等且\(a\)可逆。证明使用结合律即可。
2.如果\(a\)可逆，则逆元唯一。证明可以在\(a\)左右均加上逆元，同样使用结合律。
3.逆元的运算顺序相反，即\((ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}\)。目前不会证。
4.\(a\)可能在不可逆的情况下拥有左逆或右逆。目前没找到例子。
幂记号可以替代连乘相同的数，乘记号可以替代连加。
除法记号仅在the law of composition满足交换律的时候才可以使用，否则\(\frac ba\)可能表示\(ba^{-1}\)或\(a^{-1}b\)。
群和子群/Groups and Subgroups
群即一个拥有一个law of Composition的集合。它满足以下性质：
1.the law of composition满足结合律；
2.集合拥有单位元；
3.每个元素都可逆。
如果the law of composition还满足交换律，那么这个群是abelian Group（阿贝尔群或交换群）。
非零实数及乘法，或全体实数及加法都组成了abelian Group。
\(n\times n\)可逆矩阵的集合及矩阵乘法组成了general linear group（即一般线性群），用\(GL_n\)表示（还可以用\(GL_n(\mathbb{R/C})\)表示矩阵是实数还是复数）。除非\(n=1\)，否则其不是abelian Group。
群的阶（order）指的是它集合的势（cardinality），即它包含的元素数量。一般用\(|G|\)来表示群\(G\)的阶。如果阶有限，则群称作有限群（finite group），否则为无限群(infinite group)。
书中给出了一些infinite abelian hroups的常见记号，注意这里右上角的是运算符，不要与集合混淆。书中提到了另一种记号（e.g.\((\mathbb R,+)\)），但这种不那么简约。
群满足消去律（cancellation law），即\(ab=ac\Rightarrow b=c\)，可以用等号两边各自在对应位置乘一个逆元的方式证明。
将\(\{1,2,\cdots,n\}\)的置换群（the group of permutations）称作对称群（symmetric group），用\(S_n\)表示，它的阶为\(n!\)。理所当然它是有限非abelian群。
之后书中形式化描述了\(S_2,S_3\)。以\(S_3\)为例，如果将环置换（cyclic permutation）和对换分别用\(x,y\)表示，可以得到
这些法则被称为defining relations（也许可以译为定义关系）。
子群\(H\subseteq G\)满足以下性质（我用\(\subseteq\)记号表示子群）：
1.封闭性；
2.包含单位元；
3.可逆性，即\(a\in H\Leftrightarrow a^{-1}\in H\)。
封闭性由\(G\)的law of composition而来，因此被称为induced law（不会翻译）。注意没有提到满足交换律，因为交换律是显然继承的。
书中提醒我们直观的感受并不足够，重要的是学会定义每个术语；封闭性在有些时候作为群的一个公理被提到，但此书中将其在law of composition中包括避免了将其在群的定义中单独提出的问题。
所有模（absolute value，也就是说，模和绝对值的英文其实是一模一样的）长为1的复数集合是\(\mathbb{C^{\times}}\)的子群，被称为圆群（circle group）。当然其实我觉得这句话有点问题，应该是集合和乘法是圆群。
所有行列式为\(1\)的\(n\times n\)实矩阵是\(GL_n\)的子群，被称为特殊线性群（special linear group），用\(SL_n\)表示。
每个群都有两个显而易见的子群，仅有单位元素的子群（被称为平凡子群（trivial subgroup））和它自己；其他子群被称为proper subgroup（我猜能翻译为非平凡子群）。
整数加群的子群/Subgroups of the Additive Group of Integers
这一小节的内容大约是从代数的角度介绍整除数论。
整数加群\(\mathbb{Z^+}\)显然满足群的定义，不再赘述。定义一个子群
有一个定理：\(\mathbb{Z^+}\)的任意一个子群\(G\)要么是平凡子群，要么是\(\mathbb Za\)，其中\(a\)是\(G\)中的最小正整数。也许可以把\(a\)看作这个子群的生成元。
证明如下：首先证明\(\mathbb Za\subseteq G\)，由封闭性可知\(ka(k>0,k\in\mathbb Z)\)都在\(G\)里，由可逆性知\(-ka\)也在，同时\(0=0a\)，故得证；
再证明\(G\subseteq Za\)，令\(b\in G,b=qa+r(q,r\in\mathbb Z,0\le r<a)\)，由上文可知\(qa\in\mathbb Z\)，又由封闭性知\(r=b-qa\in\mathbb Z\)，但若\(0<r<a\)，即\(a\)不是最小正整数，矛盾，故\(r=0\)。
由此我们可以得到一个有意思的结论：
也是\(\mathbb{Z^+}\)的子群，将其称为由\(a,b\)生成的子群（the subgroup generated by \(a\) and \(b\)）。
理所当然\(G\)也是\(\mathbb Zd\)，其中\(d=gcd(a,b)\)。证明显然，从略。第一次看的时候我把\(\gcd\)给忘了然后一直在疑惑为什么它是合法的子群
btw，\(d\) divides \(a\)是说\(d\)整除\(a\)。
注意到\(\mathbb Zd\)有一个性质，即\(\exists r,s\in\mathbb Z\text{, s.t. }d=ra+sb\)。这个性质的来源居然是封闭性，即\(d\in\mathbb Zd\)显然成立。它似乎解决了当年我学扩欧时的一个很大的问题，总而言之非常厉害。正如书中所说，如果没有上述定理和性质，\(d\)是\(a,b\)的integer combination（被译为线性组合，我其实比较认同这个翻译，但不确定其和linear combination的差别，故不用）似乎是不那么清晰的。
如果两个非零数\(a,b\)的\(\gcd\)是\(1\)，则称它们互质（relatively prime，注意没有复数）。\(\mathbb Za+\mathbb Zb=\mathbb Z\)。
一个推论是，\(a,b\)互质当且仅当\(\exists r,s\in Z\text{, s.t. }ra+sb=1\)；另一个推论是，若\(p\)是质数，\(p\mid ab\Rightarrow p\mid a\)或\(p\mid b\)。
虽然第二个推论在我看来是比较显然的，但书中的证明仍然有参考价值：假设\(\gcd(a,p)=1\)，则\(\exist r,s\in mathbb Z\text{, s.t. }ra+sp=1\Rightarrow rab+spb=b\)，又因为\(p\mid rab,p\mid spb\)，故\(p\mid b\)，即得证。
btw，英文中用‘a product \(ab\) of integers’表示两个整数\(a,b\)的乘积，感觉这种语法很有趣。
我们还可以发现一个也与两个整数\(a,b\)有关的子群，即\(\mathbb Za\cap\mathbb Zb\)，若记成\(\mathbb Zm\)，则\(m={\rm lcm}(a,b)\)。显然由于这个子群包含的是\(a,b\)的公倍数，\(m\)作为最小的公倍数，当然是这个子群的生成元，即任意一个\(a,b\)的倍数都是\(m\)的倍数。书中用的是整除的表述，这里稍微更换了一下以符合习惯语义。
（在？为什么\(\LaTeX\)有\(\gcd\)没有\(lcm\)？）
btw，\(m\) is divisible by \(a\)是说\(m\)被\(a\)整除，即\(a\)整除\(m\)。
此处有一个推论即\(ab=dm\)，感性理解上是比较显然的，当然书中也给出了严谨的证明：
首先\(a,b\mid\frac{ab}d\)，则\(m\mid\frac{ab}d\)，故\(dm\mid ab\)；同时令\(d=ra+sb(r,s\in\mathbb Z)\)，\(dm=ram+sbm\)，由于\(a,b\mid m\)，显然\(ab\mid ram,ab\mid sbm\)，则\(ab\mid dm\)，即\(ab=dm\)。
\(x\mid a,x\mid b\Rightarrow x\mid(a+b)\)这一点也许没那么显然，考虑\(a=rx,b=sx,a+b=(r+s)x\)即可。
循环群/Cyclic Groups
循环子群\(H\)由群\(G\)的任意一个元素\(x\)的所有整数幂生成的群，即
这是包含\(x\)的最小子群，通常用\(<x>\)表示。理所当然地，不同幂的值可能相等。
既然称其为“循环”，当然是研究阶有限的群，无限阶（也就是每个幂都不相等）的群被称为无限循环群（infinite cyclic group），不作更多讨论。
循环群有一些性质：
1.令\(S\)是\(H\)中所有满足\(x^k=1\)的\(k\)的集合，则\(S\)是\(\mathbb Z^+\)的子群；
2.\(x^r=x^s\)当且仅当\(x^{r-s}=1\)；
3.假设\(S\)是非平凡群，那么\(\exists n\text{, s.t. }S=\mathbb Zn\)，且\(1,x,x^2,\cdots,x^{n-1}\)是\(<x>\)的不同元素，且\(<x>\)的阶是\(n\)；
4.\(x^k\)的阶是\(\frac n{\gcd(k,n)}\)。注意此处的阶，亦即周期长度(period length)，是指满足\((x^k)^p=1\)的最小正整数\(p\)，类似离散数学上的定义。
它们的证明依次如下：
1.若\(x^k=x^l=1\)，则\(x^{k+l}=x^kx^l=1\)，故封闭性满足；\(x^0=1\)，故单位元也在集合里；\(x^{-k}=1\)，故逆元也在集合里，即原命题成立；
2.用消去律证明；
3.由之前的性质得到S是\(\mathbb Zn\)，其中\(n\)是\(G\)中的最小正整数。令\(k=qn+r,x^{k}=x^{qn}x^{r}=x^{r}\)，故其在\(H\)内；由2.得\(1,x,\cdots,x^{n-1}\)互不相等，故原命题成立；
4.目前不太会写。
Klein Four Group（克莱因四元群，所以group没有s）\(V\)指的是包含
的群，是最小的非循环群。
quaternion group（四元群）
其中
这些矩阵可以通过Pauli Matrices（泡利矩阵）乘\(\rm i\)得到（没懂这条是为什么），\(H\)则由\(\rm i,j\)用
生成。
同态/Homomorphisms
同态\(\varphi:G\to G'\)是一个从\(G\)到\(G'\)的映射，满足
书中说直觉上同态兼容两个群的laws of composition，且提供了一个关联不同群的方式。
以下是一些同态：
1.\(\det:GL_n(\mathbb R)\to\mathbb R^{\times}\)；
2.\(\sigma:S_n\to\{\pm1\}\)，\(\sigma\)是符号函数；
3.\(\exp:\mathbb R^{+}\to\mathbb R^{\times}\)；
4.\(\varphi(x)=a^x,a\in G,\varphi:\mathbb Z^{+}\to G\)；
5.\(||:\mathbb C^{\times}\to R^{\times}\)；
6.平凡同态（trivial homomorphism）\(\varphi(x)=1_{G'},\varphi:G\to G'\)；
7.包含映射（inclusion map）\(\varphi(x)=x,\varphi:H\to G,H\subseteq G\)。
同态有一些性质：
1.\(\varphi(a_1\cdots a_k)=\varphi(a_1)\cdots\varphi(a_k)\)；
2.\(\varphi(1_G)=\varphi(1_{G'})\)；
3.\(\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}\)。
证明如下：
1.归纳法；
2.由同态定义，\(\varphi(1_G)\varphi(1_G)=\varphi(1_G)\)，消去律得\(\varphi(1)=1_{G'}\)（注意映射后的the law of composition已经是\(G'\)的了）;
3.由同态定义，\(\varphi(a^{-1})\varphi(a)=\varphi(a^{-1}a)=\varphi(1_G)=1_{G'}\)，故\(\varphi(a^{-1})=\varphi(a)^{-1}\)。
同态决定了两个重要的子群：像（image）和核（kernel）。
同态的一个像
（在？为什么\(\LaTeX\)有核没有像？）
btw，此处some的翻译是“某个”，因为这里的数学逻辑是“像是所有属于\(G'\)中的\(x\)，对某个\(a\in G\)满足\(x=\varphi(a)\)组成的集合”，故\(for some\Leftrightarrow\exists\)。
同态的像是值域（range）的子群，这可以直接用同态的定义证明。
同态的核
\(\ker\varphi=\{a\in G|\varphi(a)=1.\)
显然它也是值域的子群。
\(\ker\det:GL_n(\mathbb R)\to\mathbb R^{\times}=SL_n(\mathbb R)\)，\(\ker\sigma:S_n\to\{\pm1\}\)被称作alternating group（交错群），即偶置换群。
核十分重要，因为它控制（原文为controls）了整个同态。它不仅说明了哪些\(G\)中的元素会被映射到\(G'\)的单位元，还说明了哪些元素集在同态中有同样的像（原文为which pairs of elements have the same image of \(G'\)，我觉得这样翻译比较合理）。
\(H\subseteq G\)的一个左陪集（coset）
给出这个定义后，可以写出一些等价命题：
令\(K\)是\(\varphi\)的核，则下列命题等价；
1.\(\varphi(a)=\varphi(b)\)；
2.\(a^{-1}b\in K\)；
3.\(b\in aK\)；
4.\(bK=aK\)。
证明如下：
\(\varphi(a)=\varphi(b)\Leftrightarrow\varphi(a^{-1}b)=\varphi(a^{-1})\varphi(b)=\varphi(a)^{-1}\varphi(b)=1,\text{ i.e. }a^{-1}b\in K\)，故\(1\)与\(2\)等价；
我很疑惑书中说其他的证明“follows”，但是我至今没找到在哪，所以自己证了一下：
\(b\in aK\Leftrightarrow\)取\(k\in K,\text{ s.t. }ak=b\in G,\varphi(b)=\varphi(ak)=\varphi(a)\varphi(k)=\varphi(a)\)，故\(1\)与\(3\)等价；
由于\(\varphi(1_G)=1_{G'}\)，故\(K\)中存在\(1_G\)，则\(b\in bK\)。故\(bK=aK\Leftrightarrow b\in aK\)，\(3\)与\(4\)等价，故四个命题等价。
现在给出一个推论：
\(\varphi:G\to G'\)是单射的（injective，它有一个叫内射的翻译）当且仅当它的核是\(G\)的平凡子群。
证明如下：
\(K\text{ is trivial}\Rightarrow\varphi(a)=\varphi(b)\Leftrightarrow a^{-1}b=1,\text{ i.e. }a=b\)，即满足单射；
若\(\varphi\)是单射的，显然核中只能有一个元素，且它就是\(1_G\)。故推论成立。
对于\(a,g\in G\)，the conjugate（共轭，该翻译确实有其独到的意蕴，但初读难以理解，不过为了方便仍使用，但此处的短语我并未找到合适的翻译）of \(a\) by \(g\)即\(gag^{-1}\)。
\(G\)的正规子群（normal subgroup）
核是一个正规子群，因为\(\forall a\in K,\varphi(a)=1\)，故\(\varphi(gag^{-1})=\varphi(g)1\varphi(g^{-1})=1\)。
显然所有abelian group的子群都是正规子群。nonabelian group的子群自然不一定是，如二阶循环群。
群的中心（center）
btw，此处的原文是"is the set of elements that commutes with every element（是的没有s） of G"。
它当然也是\(G\)的正规子群。
\(SL_2(\mathbb R)\)的中心包含两个矩阵\(\pm I\)，但\(n\ge3\)时其只包含\(I\)。证明不会。
btw，此处的原文是"is trivial if \(n\ge3\)"。
为了加深对同态的理解，书中给出了一个\(S_4\to S_3\)的同态：
但是我没看懂。
同构/Isomorphisms
同构是满足双射的同态。
如果一个同态的核是平凡子群，那么由上文推论的它是单射的；如果它的像是\(G'\)，则它是满射的；因此如果一个同态两者都满足，那么它就是一个同构。
给出一个引理：同构的逆映射也是同构。
证明如下：双射的逆映射显然也是双射，只要证明\(\varphi^{-1}(x)\varphi^{-1}(y)=\varphi^{-1}(xy)\)即可。由\(\varphi\)是双射得命题\(\Leftrightarrow\varphi(\varphi^{-1}(x)\varphi^{-1}(y))=\varphi(\varphi^{-1}(xy))\Leftrightarrow\varphi(\varphi^{-1}(x))\varphi(\varphi^{-1}(y)))=xy\Leftrightarrow xy=xy\)显然成立，故原命题成立。
引理告诉我们，对同构的两个群，在任何一个群进行运算，我们都可以把运算搬到另一个群，因此，这两个群的运算法则（computation with the group law）具有完全一样的性质。
同态中的两个群是同态的（isomorphic）。btw，书中用的是are said to be，我觉得并不好直译。
有些时候也可以用\(G\approx G'\)表示两个群是同态的。btw，书中用的是\(G\) is isomorphic to \(G'\)。
在非正式的说法下，我们可以方便地identify（不会翻译了）两个同构的群，比如我们经常模糊\(S_n\)和它的置换矩阵群\(P\)。
与\(G\)同构的所有群被称为\(G\)的同构类。同构类中的任意两个群都是同构的。描述这些同构类的概念叫classifying groups（也许能翻成归类群）。
书中还给出了一些结论，如所有质数阶的群都是循环的，所以任一质数阶的所有群都是同构的；4阶群有两个同构类，12阶群有5个同构类。这些也许都会在后面的章节中给出证明。
\(\varphi:G\to G\)被称为自同构（automorphism）。除了恒等映射外，几乎总是（nearly always）存在其他的自同构。最重要的就是共轭（conjugation，不是conjugate）。Conjugation by g
其中\(g\)是确定的\(G\)中元素。
证明如下：
首先证明它是同态：
然后证明它是双射的，书中说是因为它有逆函数，但我没看懂。
因此，每个元素的共轭（conjugate）与它自己有很多相似之处（behaves in much the same way as the element itself），比如它们有相同的阶，这是因为它是该元素同构的像（显然，此处有两个问题：这里对像的定义突然变成了元素上，而且我也没懂这怎么就能证明了）。
btw，原句是This follows from the fact that it is the image of x by an automorphism.
如果群是abelian的，conjugation by 任意元素都是单位映射。但是任意noncommutative(我猜等价于nonabelian)的群有非平凡的共轭。
当我们想知道\(x,y\)是否共轭（conjugate,adj.），即是否\(\exists g\text{ s.t. }y=gxg^{-1}\)，解方程\(yg=gx\)即可。
交换子（commutator）\(aba^{-1}b^{-1}\cdots\cdots\)后面就没了。虽然书中说是另一个与\(x,y\)有关的重要元素，但这里仍然什么都没讲。
最后还有一个引理：\(ab=ba\)当且仅当\(aba^{-1}=1\)。
等价关系与划分/Equivalence Relations and Partitions
一个重要的数学建构往往开始于一个集合及通过对集合中的某些元素定义等价（这里的等价大概指某些共同的性质）来形成一个新集合。比如，我们可以把整数划分成奇数和偶数，新的集合只有两种元素，奇和偶。书中还举了一个全等三角形的例子，但我后面的内容没看懂。
一个集合\(S\)的划分（partition）\(\Pi\)是一个将\(S\)分成不重叠（nonoverlapping），非空子集的细分（subdivision）：
btw，原句是is a subdivision of \(S\) into non\(\cdots\)
还要注意partition可以是动词。
\(S\)的一个等价关系（equivalence relation）是建立（hold）在某些元素对上的关系，用\(a\sim b\)表示\(a\)与\(b\)等价（equivalence of \(a\) and \(b\)）。一个等价关系要求：
1.传递性（transitive）：\(a\sim b,b\sim c\Rightarrow a\sim c\)；
2.对称性（symmetric）:\(a\sim b\Rightarrow b\sim a\)；
3.自反性（reflexive）：\(\forall a,a\sim a\)。
Conjugacy（也许可以翻译成共轭关系）是群上的等价关系，用等价关系的定义可以证明（自反性取\(g=1\)）。
集合的划分和等价关系的概念在逻辑上等价：一个等价关系决定了一个划分，反之亦然。
证明：给定了划分，相应的等价关系就被定义，即\(a\sim b\)则\(a,b\)在一个子集里，等价关系的公理（？）显然满足（？）；反之，给定等价关系，则一个包含\(a\)的子集即包含所有与\(a\)等价的元素，它被称作\(a\)的等价类，即
下一个引理完整证明了这个命题：
给定\(S\)的等价关系，它的子集是划分\(S\)的等价类。
证明：
自反性公理告诉我们\(a\)在它自己的等价类里。因此\(C_a\)必然非空，因为\(a\)可以是任意元素，所以这些等价类的并就是全集。还有一个性质是等价类之间没有交（disjoint），为了证明这个，我们需要证明如果\(C_a\)与\(C_b\)有共同元素，那么\(C_a=C_b\)。感觉可以用传递性和对称性显然得到。
如果\(S\)的划分已被给出，
