网络流的概念入门第一讲
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相关概念：
最大流：（Maximum-Flow Problem）
从源点 S 中间经过一些点，一些的物品运送到汇点 t 。
中途每两点间都有个最大运送物品数。
求从 s 到 t 最多能运送多少物品。
容量： 对于一条边 (u,v),它的物品上限（能够运送的物品最大数量）称为容量 （capacity），
记为 c(u,v) (对于不存在的边 (u,v) , c(u,v) = 0)
流量： 实际运送物品数称为流量 （flow）
规定：f(u,v) 和 f(v,u) 最多只有一个正数（可以均为 0），且 f(u,v) = - f(v,u)
PS：此图左边表示实际运送物品，右边表示最大容量。
结论：对于除了 s 和 t 的任意节点 u, ∑ f(u,v) = 0 (有些 f 为负数) 。
(u,v)∈E
最大流问题中： 容量 c 和 流量 f 满足三个性质
容量限制 f(u,v) <= c(u,v)
斜对称：f(u, v) = -f(u,v)
流量平衡：对于除了 s 和 t 的任意节点 u, ∑ f(u,v) = 0 (有些 f 为负数) 。
(u,v)∈E
目标：最大化 | f | = ∑ f(s,v) = ∑ f(u,t) 即从 S 点流出的净流量（=流入 t 点的净流量）
(s,v)∈E , (u,t)∈E
增广路算法：
残量：上图中每条边上的容量差 （称为残余流量，简称残量），
比如说上面第二个图中 V2 到 V4 残量为 14-11 = 3; V4 到 V2 残量为 0-（-11）= 11
算法基于事实：
残量网络中任何一个从 s 到 t 的有向道路都对应一条原图中的增广路【PS：不理解这个名词也没事继续看】。
只要求出该道路中所有残量的最小值 d,把对应的所有边上的流量增加 d 即可，这个过程称为增广。
也就是说只要有从起点 s 到终点 t 的路上存在流量，那么找出最小的残余流量 d
那么这个 d 肯定是满足这条路径的每一条边的，否则找不出这样的 d
那么这条路径上的每一条边的流量增加 d ，总流量增加 d 就好了。
然后继续找，直到找不到为止。
不难证明如果增广前的流量满足 3 个条件，那么增广之后任然满足。
显然只要残量网中存在增广路，流量就可以增大。
逆命题：如果残量网中不存在增广路，则当前流就是最大流，这就是著名的增广路定理。
问题：如何找路径？ DFS ms 很慢，用 BFS
1 queue<int> q; 2 memset(flow,0,sizeof(flow)); //初始化流量为 0 3 f = 0; // 初始化总流量为 0 4 for(;;) //BFS 找增广路 5 { 6 memset(a,0,sizeof(a)); // a[i]:从起点 s 到 i 的最小残量【每次for()时 a[] 重新清 0 因此同时可做标记数组 vis】 7 a[s] = INF; //起点残量无线大 8 q.push(s); //起点入队 9 while(!q.empty()) // BFS 找增广路 10 { 11 int u = q.front(); //取队首 12 q.pop(); // 出队 13 for(int v = 1; v <= n; v++) if(!a[v] && cap[u][v] > flow[u][v]) //找新节点 v 14 { 15 p[v] = u; q.push(v); //记录 v 的父亲节点,并加入 FIFO 队列 16 a[v] = min(a[u], cap[u][v]-flow[u][v]); // s-v 路径上的最小残量【从而保证了最后,每条路都满足a[t]】 17 } 18 } 19 20 if(a[t] == 0) break; // 找不到，则当前流已经是最大流 【t为终点】 21 22 for(int u = t; u != s; u = p[u]) // 从汇点往回走 23 { 24 flow[p[u]][u] += a[t]; // 更新正向流 25 flow[u][p[u]] -= a[t]; // 更新反向流 26 } 27 f += a[t]; // 更新从 S 流出的总流量 28 }
