动态规划基本思想

      动态规划与分治法类似，都是构造子问题的解来求解原问题，但是与分治法不一样的是，分治法求解的是不重叠的子问题，而动态规划恰好是解决重叠子问题，如果用分治法来解决，将会反复求解子问题，使得计算效率极低，对于重叠子问题，动态规划只需要将子问题求解一遍将其记录在一表格中，需要时调用即可，这样提高了时间上的效率，但是需要储存子问题耗费空间量大，以空间为代价换取时间，这是一个典型的时空权衡问题。具体求解动态规划有以下四个步骤：

1.刻画一个最优解的结构特征

2.递归的定义最优解的值

3.计算最优解的值，通常采用自底向上的方法

4.利用计算出来的信息构造一个最优解

前三步是求解最优解的值的步骤，如果需要最优解的信息就需要第四步

动态规划两种等价实现方法：

1.自顶向下法：此方法按自然递归方式编写，但过程会保存每一个子问题，在调用子问题时先判断子问题是否已经求解过。若果是则直接返回保存值，否则按通常方式计算这个问题。

2：自底向上法：这种方法一般需要定义子问题的规模，使得任何问题求解转化为只依赖子问题的解，然而我们将子问题按规模排序，从小到大进行求解，每个子问题求解一次并保存下来，直到所有子问题求解完成。