堆排序
1 基本思想
1）初始化堆：将数列a[1...n]构造成最大堆。
2）交换数据：将a[1]和a[n]交换，使a[n]是a[1...n]中的最大值；然后将a[1...n-1]重新调整为最大堆。 接着，将a[1]和a[n-1]交换，使a[n-1]是a[1...n-1]中的最大值；然后将a[1...n-2]重新调整为最大值。 依次类推，直到整个数列都是有序的。
2 基本步骤
下面，通过图文来解析堆排序的实现过程。注意实现中用到了"数组实现的二叉堆的性质"。
在第一个元素的索引为 0 的情形中：
性质一：索引为i的左孩子的索引是 (2*i+1);
性质二：索引为i的左孩子的索引是 (2*i+2);
性质三：索引为i的父结点的索引是 floor((i-1)/2);
堆排序(升序)代码
/* * (最大)堆的向下调整算法 * * 注：数组实现的堆中，第N个节点的左孩子的索引值是(2N+1)，右孩子的索引是(2N+2)。 * 其中，N为数组下标索引值，如数组中第1个数对应的N为0。 * * 参数说明： * a -- 待排序的数组 * start -- 被下调节点的起始位置(一般为0，表示从第1个开始) * end -- 截至范围(一般为数组中最后一个元素的索引) */ void maxheap_down(int a[], int start, int end) { int c = start; // 当前(current)节点的位置 int l = 2*c + 1; // 左(left)孩子的位置 int tmp = a[c]; // 当前(current)节点的大小 for (; l <= end; c=l,l=2*l+1) { // "l"是左孩子，"l+1"是右孩子 if ( l < end && a[l] < a[l+1]) l++; // 左右两孩子中选择较大者，即m_heap[l+1] if (tmp >= a[l]) break; // 调整结束 else // 交换值 { a[c] = a[l]; a[l]= tmp; } } } /* * 堆排序(从小到大) * * 参数说明： * a -- 待排序的数组 * n -- 数组的长度 */ void heap_sort_asc(int a[], int n) { int i; // 从(n/2-1) --> 0逐次遍历。遍历之后，得到的数组实际上是一个(最大)二叉堆。 for (i = n / 2 - 1; i >= 0; i--) maxheap_down(a, i, n-1); // 从最后一个元素开始对序列进行调整，不断的缩小调整的范围直到第一个元素 for (i = n - 1; i > 0; i--) { // 交换a[0]和a[i]。交换后，a[i]是a[0...i]中最大的。 swap(a[0], a[i]); // 调整a[0...i-1]，使得a[0...i-1]仍然是一个最大堆。 // 即，保证a[i-1]是a[0...i-1]中的最大值。 maxheap_down(a, 0, i-1); } }
heap_sort_asc(a, n)的作用是：对数组a进行升序排序；其中，a是数组，n是数组长度。
heap_sort_asc(a, n)的操作分为两部分：初始化堆 和 交换数据。
maxheap_down(a, start, end)是最大堆的向下调整算法。
下面演示heap_sort_asc(a, n)对a={20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}, n=11进行堆排序过程。下面是数组a对应的初始化结构：
2.1 初始化堆
在堆排序算法中，首先要将待排序的数组转化成二叉堆。
下面演示将数组{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}转换为最大堆{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}的步骤。
2.1.1 i=11/2-1，即i=4
上面是maxheap_down(a, 4, 9)调整过程。maxheap_down(a, 4, 9)的作用是将a[4...9]进行下调；a[4]的左孩子是a[9]，右孩子是a[10]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[10])和a[4]交换。
2.1.2 i=3
上面是maxheap_down(a, 3, 9)调整过程。maxheap_down(a, 3, 9)的作用是将a[3...9]进行下调；a[3]的左孩子是a[7]，右孩子是a[8]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[8])和a[4]交换。
2.1.3 i=2
上面是maxheap_down(a, 2, 9)调整过程。maxheap_down(a, 2, 9)的作用是将a[2...9]进行下调；a[2]的左孩子是a[5]，右孩子是a[6]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[5])和a[2]交换。
2.1.4 i=1
上面是maxheap_down(a, 1, 9)调整过程。maxheap_down(a, 1, 9)的作用是将a[1...9]进行下调；a[1]的左孩子是a[3]，右孩子是a[4]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[3])和a[1]交换。交换之后，a[3]为30，它比它的右孩子a[8]要大，接着，再将它们交换。
2.1.5 i=0
上面是maxheap_down(a, 0, 9)调整过程。maxheap_down(a, 0, 9)的作用是将a[0...9]进行下调；a[0]的左孩子是a[1]，右孩子是a[2]。调整时，选择左右孩子中较大的一个(即a[2])和a[0]交换。交换之后，a[2]为20，它比它的左右孩子要大，选择较大的孩子(即左孩子)和a[2]交换。
调整完毕，就得到了最大堆。此时，数组{20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}也就变成了{110,100,90,40,80,20,60,10,30,50,70}。
2.2 交换数据
在将数组转换成最大堆之后，接着要进行交换数据，从而使数组成为一个真正的有序数组。
交换数据部分相对比较简单，下面仅仅给出将最大值放在数组末尾的示意图。
上面是当n=10时，交换数据的示意图。
当n=10时，首先交换a[0]和a[10]，使得a[10]是a[0...10]之间的最大值；然后，调整a[0...9]使它称为最大堆。交换之后：a[10]是有序的！
当n=9时， 首先交换a[0]和a[9]，使得a[9]是a[0...9]之间的最大值；然后，调整a[0...8]使它称为最大堆。交换之后：a[9...10]是有序的！
...
依此类推，直到a[0...10]是有序的。
3 动画演示
4 时间复杂度和稳定性
堆排序时间复杂度
堆排序的时间复杂度是O(N*lgN)。
假设被排序的数列中有N个数。遍历一趟的时间复杂度是O(N)，需要遍历多少次呢？
堆排序是采用的二叉堆进行排序的，二叉堆就是一棵二叉树，它需要遍历的次数就是二叉树的深度，而根据完全二叉树的定义，它的深度至少是lg(N+1)。最多是多少呢？由于二叉堆是完全二叉树，因此，它的深度最多也不会超过lg(2N)。因此，遍历一趟的时间复杂度是O(N)，而遍历次数介于lg(N+1)和lg(2N)之间；因此得出它的时间复杂度是O(N*lgN)。
堆排序稳定性
堆排序是不稳定的算法，它不满足稳定算法的定义。它在交换数据的时候，是比较父结点和子节点之间的数据，所以，即便是存在两个数值相等的兄弟节点，它们的相对顺序在排序也可能发生变化。
算法稳定性 -- 假设在数列中存在a[i]=a[j]，若在排序之前，a[i]在a[j]前面；并且排序之后，a[i]仍然在a[j]前面。则这个排序算法是稳定的！
5 参考代码
package com.tcxpz.heap; import java.util.Arrays; /** * 堆排序算法 * @author jgp QQ:1072218420 * */ //Java 代码实现 public class HeapSort{ public static void main(String[] args) { int[] a = {20,30,90,40,70,110,60,10,100,50,80}; System.out.print("before sort:"); for (int num:a) System.out.print(num+" "); System.out.println(); int[] arr = sort(a); System.out.print("after sort:"); for (int num:arr) System.out.print(num+" "); System.out.println(); } private static int[] sort(int[] sourceArray){ // 对 sourceArray 进行拷贝，不改变参数内容 int[] arr = Arrays.copyOf(sourceArray, sourceArray.length); int len = arr.length; buildMaxHeap(arr, len); for (int i = len - 1; i > 0; i--) { swap(arr, 0, i); len--; heapify(arr, 0, len); } return arr; } private static void buildMaxHeap(int[] arr, int len) { for (int i = (int) Math.floor(len / 2); i >= 0; i--) { heapify(arr, i, len); } } private static void heapify(int[] arr, int i, int len) { int left = 2*i+1; int right = 2*i+2; int largest = i; if (left < len && arr[left] > arr[largest]) { largest = left; } if (right < len && arr[right] > arr[largest]) { largest = right; } if (largest != i) { swap(arr, i, largest); heapify(arr, largest, len); } } private static void swap(int[] arr, int i, int j) { int temp = arr[i]; arr[i] = arr[j]; arr[j] = temp; } }
