学习笔记 最大闭合权子图
写在之前
最近又开始更新博客了 所以就学习了一些之前没有学过的东西
正式开始
什么是最大权闭合子图？
首先 我们需要明白 什么是闭合子图
首先 子图我们很好明白
至于闭合子图 就是子图中所有的点 他们的出度指向的点也在这个子图中
我们来一个DAG网上找的 上图理解一下
在这幅图中 {1,2,3,4},{4.5},{2,4,5}都是闭合子图
但是 {1,2,5}就不是 因为点1一个出度指向的点4不在这幅子图当中
这就是闭合子图的概念
如果加上点权的话 那么所有闭合子图当中点权和最大的就是最大权闭合子图
怎么求最大权闭合子图？
求解方式：最大流最小割
首先我们建立符合最大流的图
建立一个超级源s 和一个超级汇t
然后所有的正权点都和s相连 容量为其点权
所有的负权点都和t相连 容量为其点权的绝对值
然后 再按照原图的关系连边 容量为无穷大
然后够我们跑最小割 也就是最大流就可以了
为什么这样子建图？
请注意 我们现在跑的是最小割
所以 一个点的出度的点之间的边由于容量是无穷大 所以不可能被割掉
这也就是保证了闭合子图的成立
所以 我们只会割掉 s与正点权的点之间的边 以及负点权的点与t之间的边
最后的图就被我们分为了两部分 在最大权闭合子图里的和不在最大权闭合子图里的
最后 我们的答案 正点权的点权和 - 最小割 = 正点权的点权和 - (不在最大闭合子图正点权点权和 + 在最大权闭合子图里的负点权绝对值和) = 在最大闭合子图正点权点权和 - 在最大权闭合子图里的负点权绝对值和
这就是我们要的答案
现在 我们可以上题了
